Bonjour,
je ne comprends pas un point important de mon cours d'analyse.
Mon cours m'indique que l'on doit connaitre à l'avance la dimension de l'espace des solutions d'une équation différentielle en regardant son ordre.
Ce qui veut dire qu'une equadif homogène d'ordre deux admets deux solutions linéairement indépendantes ?
Je n'ai pas compris mon cours, donc je suppose que je ne suis pas très clair...
Sisi, ce que tu dis est compréhensible et en effet une equa diff homogène d'ordre n admet n solutions linéairement indépendantes.
Un moyen de le voir et de le comprendre (mais qui ne constitue pas une démonstration) est de voir que le polynôme caractéristique d'une équa diff d'ordre n est de degré n et que donc, en vertu du théorème fondamental de l'algèbre, il possède n racines (en comptant leur multiplicité).
Du coup, si les racines sont simples, on voit facilement qu'il y a n solutions, qui paraissent bien linéairement indépendantes (prouver qu'elles le sont ne doit pas être trop dur).
Si jamais certaines racines r ont une multiplicité m supérieure à 1, on peut alors prouver que erx, xerx, x²erx, ..., xmerx sont solutions. Du coup on retrouve encore n solutions.
Silk
Merci beaucoup !
