demonstration dimension de l'espace vectoriel Mnp(K)

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

soit A=(a ij) appartient à Mnp(K) on remarque que:
A=sigma i=1 à n fois sigma j=1 à p des a ij x E ij où E ij est la matrice de Mnp(K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1.

la famille E ij (i,j) appartient à [[1,n]] x [[1,p]] engendre donc Mnp(K)
or

sigma i=1 à n fois sigma j=1 à p des a ij fois E ij=0 signifie que pour tout (i,j) appartient à [[1,n]] x [[1,p]] on à a ij=0

la famille (E ij) est donc libre c'est une base de Mnp(K) appelée base canonique on en deduit donc que

dim Mnp(K)=np

je ne comprends pas les deux signes de sommation je ne sais pas si c'est une sommation multiplié par une autre sommation ou si c'est la sommation d'une sommation et je ne sais pas comment la calculer

et je ne comprends pas aussi la formule qui dit que dim Mnp(K)=np

pouvez vous m'expliquez svp ( avec exemple si possible)

merci par avance
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[invitec1ddcf27]

Salut,

je ne comprend pas tout ce que tu écrit. Mais cette "démonstration" est "simple". C'est plus une vérification difficile a écrice. Il faut se convaincre que c'est vrai sur un cas particulier. Par exemple, considére l'espace des matrices à 3 lignes et 2 colonnnes. Alors














Alors toute matrice



s'écrit



Et donc la famille



engendre l'espace

Il est aussi facile de se convainccre qu'elle est libre. Et alors la dimension de l'espace est


Dans le cas générale, c'est la même chose :



Voila j'espère que cela t'aide.

[invite69d45bb4]

Et donc la famille (E1,1... E3,2)



engendre l'espace M32(R)

Il est aussi facile de se convainccre qu'elle est libre. Et alors la dimension de l'espace est 2x3

comment voit ont qu'elle est libre et que donc la dimension de l'espace est 3x2 là javoue ne pas comprendre.

[inviteaf1870ed]

Essaie de prendre une combinaison linéaire nulle d'éléments de ta famille, comme chaque coefficient se retrouve de façon unique dans la matrice M32, et que celle ci est nulle, chaque coefficient est nul; et ta famille est libre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

euh en fait je ne comprend pas du tout
comment puis je prendre une combinaison lineaire nulle d'elements de ma famille Eij
car E11 est different de 0 et idem pour les autres

[inviteaf1870ed]

Une combinaison linéaire des vecteurs u₁, u₂, u_n est de la forme :

a₁u₁+a₂u₂+...+a_nu_n

Ici tes vecteurs sont des matrices E_ij qui ont des zéros partout et un 1 à la place ij.

La combinaison linéaire ci dessus va donc te donner une matrice que tu veux nulle par définition.

[invite69d45bb4]

d'accord mais comment en deduire alors que dim M32(R)=3x2 ?

[inviteaf1870ed]

Tu as une famille libre et génératrice, donc c'est une base. Par définition le nombre d'éléments de la base est la dimension de ton espace