Bonjour,
Actuellement en révisions sur la stabilité/instabilité des schémas d'Euler, je bloque (bêtement ?) sur un calcul.
Soit le schéma matriciel suivant :
Le but est de montrer que le schéma d'Euler implicite est inconditionnellement stable.
Le système peut s'écrire sous la forme :
[A] * {u'(t)} + β * [B] * {u(t)} = {F}
En appliquant le schéma d'Euler implicite, on a :
(1/Δt)*[A]*({u(t+Δt)}-{u(t)}) + β*[B]*{u(t+Δt)}) = {F}
Après avoir isolé {u(t+Δt)}, on obtient :
{u(t+Δt)} = ((1/Δt)*[A]+β*[B])^(-1)*{F} + (1/Δt)*((1/Δt)*[A]+β*[B])^(-1)*[A]*{u(t)}
A partir de là, je ne parviens pas à calculer les valeurs propres de :
((1/Δt)*[A]+β*[B])^(-1)*[A]
L'objectif étant d'aboutir à une condition sur la valeur propre maximale λm de cette matrice (que je ne parviens pas à calculer) afin d'obtenir une inégalité qui est toujours vérifiée.
Peut-être que je me trompe dans la méthode ou dans un des calculs, mais si une âme charitable peut m'éclairer, ça serait parfait.
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