Combinaison et congruence

[invite8d54258a]

Bonsoir ! Encore dans l'arithmétique, je cherche à démontrer que si est premier alors , on a .
J'ai écris donc et voici ce qui me gêne :

p étant premier, il est premier avec tous entiers qui lui est strictement inférieur

sinon, la conclusion est donc et le résultat s'ensuit.

Sur les nombres premiers, je me demande pourquoi si n n'est pas premier, il admet un diviseur strictement compris entre 1 et n (cela en vue de prouver que tout tout entier admet un diviseur premier).
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[invite7ffe9b6a]

Bonsoir, pour la premiere propriétée que tu as encadrée:

Tous les entiers strictements inferieurs à p ne peuvent faire apparaitre p dans leur decomposition en facteurs premiers. Il s'ensuit qu'ils sont premier avec p


Pour la deuxieme question.

Supposons que n ne soit pas premier.

L'ensemble est donc non vide.

Cette ensemble étant non vide et inclus dans donc il admet un plus petit élement que j'appele p.

Par l'abusrde si p est non premier. Il existe un entier strictement inférieur à p qui divise p. Mais alors cet entier k divise aussi n et comme il est plus grand ou égale à 2, il est dans l'ensemble du dessus.
p étant le plus petit élement de cet ensemble, on doit avoir . Contradiction.

p est donc premier, et n possede un diviseur premier.


Edit: en faite l'hypothese n non premier sert à rien dans cette demo. Dans le cas ou n est premier , on aura tout simplement p=n. En clair, tout nombre plus grand que 2 admet un diviseur premier: lui même si il est premier, un plus petit sinon.

[invite8d54258a]

Désolé, je vois pas !

Tous les entiers strictements inferieurs à p ne peuvent faire apparaitre p dans leur decomposition en facteurs premiers.

OK.

Il s'ensuit qu'ils sont premier avec p

Pourquoi donc ?

[invite7ffe9b6a]

Parce que si ils sont non premier entre eux, ils ont diviseur strictement plus grand que 1 en commun et que le seul diviseur possible de p est p qui n'apparait pas dans la decomposition en facteur premier de l'autre... donc ne le divise pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d54258a]

OK ! Je vois !
Finalement, on applique plusieurs fois ce résultat : donc . Or et sont premiers entre eux, car est premier donc est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas (ici , il ne peut pas le diviser car il lui est strictement plus grand !).
D'après le théorème de Gauss . Et on recommence jusqu'à obtenir ?

[invite7ffe9b6a]

p est premier avec k!, dans la decomposition en facteur premier de k!, p ne peut pas apparaitre...

[invite8d54258a]

[invitea6816ba4]

bonjour

tu peux montrer facilement que si a est premier avec b et premier avec c il est premier avec bc

p est premier avec tous les termes de k factoriel donc ilest premier avec leurs produit k factoriel

[invite8d54258a]

Comme , on a . Or , donc par contraposée, si , alors ne peut diviser .

Or premier, donc est premier avec tout entier qu'il ne divise pas.

Donc , , ..., et

Ainsi c'est-à-dire .

Il faut donc montrer le résultat et alors .

Faut-il utiliser Bezout ?

[invitea6816ba4]

tu peux le voir de deux facons

par bezout

ou bien en travaillant dans l anneau Zsur aZ en utilisant que le résultat facilement démontrable le produit de deux élément inversible d un anneau est inversible