Bonjour,
il est écrit que c´est un éxo d´entrainement mais honnetement je suis perdu!
Voici l´énoncé:
Soitune fonction méromorphe pour laquelle il existe des variables komplexes
Montrer que f n´a qu´un nombre fini de Pols
rassuré moi il n´est pas si compliqué qu´il en à l´air?
Cordialement.
Bart
Salut !
en effet, c'est pas aussi compliqué que ca en à l'air :
le fait que le nombre de pole est fini est immediat car le parralelograme est borné (les poles sont un ensembles fermé discret, et dans C un fermé discret borné c'est un ensemble fini)
pour le fait que la somme des résidus est nul : utilise le théorème de cauchy en intégrant le long du bord du parallélogramme. gràce aux conditions de periodicité de f, les intégrales sur les coté opposé vont s'annuller deux à deux et on trouve 0.
Salut,
pour la première question, un parallèlogramme est une partie compacte : utilise le théorème des zéros isolés.
Ensuite, intègre ta fonction sur les bords du parallèlogramme et utilise la double périodicité.
Cordialement.
EDIT : grillé par KSilver !
Martini_bird, j´ai un petit problème de compréhension! A quoi me sert exactement le théorème des zéros isolés ici?
Ksilver le fait que les poles soient un ensemble fermé discret doit être prouver avant non? Par ailleurs il existe aussi des fonctions avec des poles infinis? Donc je ne peux pas partir sur cette base. Finallement je pensais avoir compris mais...
le nombre de poles d'une fonction générale peut être infini mais l'idée c'est qu'autour d'un pôle tu as un voisinage sans autre pôle (l'ensemble des pôles n'a pas de point d'accumulation). Maintenant, sur une partie compacte, une suite infinie a toujours un point d'accumulation, donc l'ensemble des pôles sur le compact est fini.
Ba la définition de fonctions méromorphe que je connais c'est "une fonction qui est holomorphe sauf sur un ensemble fermé discret de point ou elle admet des pole"
"Par ailleurs il existe aussi des fonctions avec des poles infinis?" >>> c'est quoi un "poles infinis" ????
Salut,
Un pôle de f est un zéro de 1/f...Envoyé par Bartolomeo
Cordialement.
