Définition d'une fonction méromorphe

[Bruno0693]

Bonjour,

D'après ce que j'ai pu comprendre de mon cours, une fonction complexe est dite méromorphe si et seulement si ses singularités sont des pôles.

Or, dans l'ouvrage "Analyse complexe pour la Licence" de P. Tauvel, je lis la chose suivante :

Soit U un ouvert connexe de C. Soient g et h deux fonctions holomorphes sur U non identiquement nulles. L'ensemble A des zéros de f est localement isolé dans U. notons f = g/h qui est holomorphe dans U \ A.

Soit alors et m la multiplicité du zéro a de h. Au voisinage de a on a :

où est une fonction holomorphe sur U et .

- Si , alors a est un pôle d'ordre m de f

- Si , comme g n'est pas identiquement nulle, on peut écrire :

où est holomorphe sur U et .

Ainsi :



- Si , f a une singularité illusoire en a

- Si , a est un pôle d'ordre de f.

On a prouvé que f est méromorphe dans U.

=> Ma question :

Ce qui me gêne, dans cet extrait, c'est le cas pour lequel on a une singularité illusoire en a. En effet, si c'est le cas, a n'est pas un pôle de f et donc, d'après la définition d'une fonction méromorphe que je donnais au début (les singularités ne doivent être que des pôles), f ne devrait pas, dans ce cas, être méromorphe sur U...

Comment comprenez-vous ce cas et pourquoi, même si on n'a que des singularités illusoires, pourrait-on dire que f est méromorphe ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invitebe0cd90e]

Ce que je comprends c'est que si , f n'a moralement pas de singularité du tout ! En effet, dans ce cas l'expression est bien definie meme pour .

[Bruno0693]

Ok. Merci jobhertz.

En fait, est-ce qu'on peut dire qu'une fonction holomorphe est en particulier méromorphe ? En effet, d'après la définition, une fonction f est méromorphe dans U s'il existe une partie localement finie A de U telle que f soit holomorphe sur U \ A. Donc, si on prend , on a bien qu'une fonction holomorphe est en particulier méromorphe.

Ainsi a-t-on ?

[invitebe0cd90e]

Ok. Merci jobhertz.

En fait, est-ce qu'on peut dire qu'une fonction holomorphe est en particulier méromorphe ? En effet, d'après la définition, une fonction f est méromorphe dans U s'il existe une partie localement finie A de U telle que f soit holomorphe sur U \ A. Donc, si on prend , on a bien qu'une fonction holomorphe est en particulier méromorphe.

Ainsi a-t-on ?

Oui, clairement, les fonctions holomorphes sont en particulier meromorphe. Une fonction meromorphe est une fonction qui a des pôles suffisamment gentils pour qu'on sache faire des trucs avec. Les fonctions holomorphes ont des pôles tellement gentils qu'ils ont le bon gout de ne pas exister

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