Dénombrement de parties

[inviteaac0bdf6]

Bonjour à tous, je bêche un peu sur un sujet de mathématiques... Ca serait sympa si vous pouviez m'aider à continuer cet exercice...

Alors : Soient X et Y deux parties de E avec card(E)=n et tel que Y inclus dans X. Dénombrez le nombre de possibilités qu'il existe pour Y et X.

Donc, ce que j'ai pensé, c'est que, par définition : card(partie de E)=2^(cardE)

Donc déjà, cardX=2^n. Et cardY<cardX.

Il y a k parmi n possibilités de choisir un X dans E, donc il y a Somme(k=0,n)[(k parmi n)*2^n]

mais après pour Y? ....
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[invite7ffe9b6a]

Non Card (X) ne peut pas etre egale à 2^n. (il y au max n élements)

Mais l'idée est bien de raisonner sur les cardinaux.

Soit Card(X)= k, combien de possibilité pour X ?

ensuite, combien de possibilité pour Y maintenant ? (Avec ce X Fixé)

[invite1e1a1a86]

j'ai n éléments.
choisis en autant que tu veux et prend les. combien de choix as tu?
il s'agit de dénombrer les parties de E et donc y'a 2^n possibilités pour X.

ensuite dans chaque X, j'ai combien de possibilité pour Y: j'ai 2^card(X) comme précédement

ainsi combien j'ai de choix?
-> Sum sur tous les X possibles (et y'en a 2^n différents) de 2^card(X)
combien y'a t'il de X qui ont pour cardinal 0? 1? 2?....n?

 Cliquez pour afficher

ainsi on revient a calculer

[inviteaac0bdf6]

Alors tout d'abord merci à vous deux pour votre réponse rapide.

Dans mon cours de Sup c'est écrit explicitement en rouge :
Card(partie de E) = 2^Card(E) ...

Donc ce n'est pas le cardinal mais le nombre de possibilités?...
Parce que si on a 3 éléments de E a,b,c, on peut faire 8 ensembles de E qui sont : a / b / c / {a,b} / {a,c} / {b,c} / {a,b,c} et l'ensemble vide donc 2^3.

Ensuite pour la somme je suis d'accord.

Et donc le nombre de possibilités de Y, on rajoute une nouvelle somme allant de i=0 à CardX c'est ça?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6acfe16b]

Bonjour,

On peut aussi voir les choses comme ceci. Les ensembles X et Y déterminent trois "zones" dans E :
1) Y
2) X\Y
3)E\X

Chaque élément de E peut appartenir à chacune de ces trois zones donc la réponse est 3^Card(E).

[inviteaac0bdf6]

D'après le correcteur de celui qui a eu cet exercice en concours, la réponse est :

Double somme [(k parmi n)*2^n]

Enfin je me perds un peu là...

[invite1e1a1a86]

Simple somme sur k en fait... et ça donne 3^n soit 3^card(E)