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Aire d'un cône quelconque

  1. #1
    kirby4

    Aire d'un cône quelconque

    Bonjour,

    Je recherche la formule de l'aire d'un cône quelconque, où le sommet du cône est décalé par rapport au centre de la base, comme sur le cône de droite de cette image :

    Merci d'avance,

    Kirby4

    -----


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  3. #2
    silk78

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Bonjour,
    Le volume d'un cône est toujours donné par V=B*h/3 où B est l'aire de la base et h la hauteur du cône. Donc en l'occurrence ici, les deux cônes ont le même volume qui vaut

    Silk

  4. #3
    kirby4

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Merci silk78, mais je recherche l'aire du cône, et non pas le volume.

  5. #4
    silk78

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Arfff, désolé, faut que j'apprenne à lire moi ...

    Pour l'aire, je ne suis sur de rien, mais il me semble qu'elle n'est pas calculable pour un cône quelconque.

    "Mathématiquement", si on essaye de le faire de la même manière qu'un cône droit (cad en intégrant le périmètre du cercle le long de la surface du cône), je crois qu'on peut expliquer ça par le fait que l'on ne puisse pas choisir d'élément d'intégration sur la surface d'un cône quelconque. En effet si on fait un dessin, alors la longueur infinitésimal dl le long du cône correspondant à un déplacement de longueur dh le long de la hauteur n'est pas la même partout sur le cône (sur une coupe, on voit déjà que ce n'est pas le cas pour les longueurs dl "diamétralement opposées").

    Mais je pense que ce que je viens de dire n'est pas clair du tout, et en plus je ne suis plus sur pour la non calculabilité de l'aire.
    Il nous faut attendre l'avis de gens plus expérimentés ...

  6. #5
    Elie520

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Partant du principe que connaissant le rayon de la base, la hauteur de la pyramide et la distance du sommet au centre du cercle de la base il n'y a qu'un seul cône, alors l'aire est forcément calculable. Après, peut-être qu'elle n'est pas calculable en général mais au cas par cas, mais j'en doute. Cependant, de là à mettre tout ca en équation...
    Quod erat demonstrandum.

  7. #6
    silk78

    Re : Aire d'un cône quelconque

    @Elie520 : pourquoi l'unicité induit obligatoirement la calculabilité ? Comment calculerais-tu la surface alors (avec quelle méthode, je ne demande pas les calculs eux même) ?

  8. #7
    kirby4

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Merci à tous,

    à force de calculer à partir des figures que j'ai mise dans mon premier message et de formules trouvées sur internet, je crois que cette formule pourrait avoir du sens :
    A = PI * r * ( r + RC(E² + H²) )


    r = rayon de la base
    RC() = racine carrée
    E = écart entre le centre du diamètre de la base et le sommet du cône
    H = hauteur du cône

    J'ai obtenu cette formule à partir de la formule d'aire du cône droit, et remplacé l'apothème par la ligne "a" sur le cône de droite sur mon image.

    Est-ce que cette formule aurait de l'allure, ou je suis dans le champ?

    EDIT : cette formule est supposée fonctionner pour l'aire latérale, pour ajouter l'aire de la base, une simple addition de l'aire de celle-ci sera suffisante

  9. #8
    silk78

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Hmm, pourquoi as-tu remplacé l'apothème par la longueur a ? Ca ne représente pas la même chose : dans un cône droit, l'apotheme est la distance entre un point du cercle de base et le sommet. Le problème c'est qu'ici, cette distance n'est pas constante pour tous les points ; à la rigueur, je pourrais comprendre que l'on remplace cette apothème par la longueur moyenne de cette distance quand on parcourt tous le cercle, mais y a aucune raison mathématique pour que ça marche ...

  10. #9
    kirby4

    Re : Aire d'un cône quelconque

    En tout cas, pour avoir fait des test ici avec des logiciels d'ingénieur, ce n'est pas la formule de base pour l'aire du cône droit, puisque les 2 cône créés (un droit et un décentré) n'avit pas la même aire malgré que les dimension du diamètre de la base et de la hauteur étaient égales.

  11. #10
    Jon83

    Re : Aire d'un cône quelconque


  12. #11
    kirby4

    Unhappy Re : Aire d'un cône quelconque

    Ouf, une sacré lecture, qui nous indique que ce problème ne se réglera pas par mes simples petits calculs

    Donc, sois je finis pas être chanceux et je trouve la formule par hasard, sois je vais laisser tomber

    Merci à tous de m'avoir aidé,

    kirby4

  13. #12
    invite986312212
    Invité

    Re : Aire d'un cône quelconque

    c'est donc un problème qui a occupé Fermat, Leibniz et Euler, pas mal...
    c'est intéressant de voir que Fermat était vu naguère (1967) comme un géomètre, alors qu'aujourd'hui on est plutôt fascinés par ses théorèmes d'arithmétique.

  14. #13
    Jon83

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Bonsoir,

    Vous avez également le calcul page 582-585 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt...bleDesMatieres

  15. #14
    Elie520

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    @Elie520 : pourquoi l'unicité induit obligatoirement la calculabilité ? Comment calculerais-tu la surface alors (avec quelle méthode, je ne demande pas les calculs eux même) ?
    Avant tout, notons l'aire du cône, l'aire du cercle base, et .
    Bon pour , ca va. Occupons nous de .

    Soit dans l'espace un repère orthonormé (O,x,y,z) tel que O soit le centre de la base du cône, que ce cercle soit inscrit dans le plan (O,x,y), et que le sommet A ait pour coordonnées : . Notons le rayon du cercle.
    Soit I le projeté orthogonal de A sur (Oy). Donc
    Soit, pour un certain , M un point du cercle (base du cône) tel que .
    Notons où M dépend donc de .

    Je crois qu'on a donc :

    M a pour coordonnées :

    D'où, si je ne fais pas d'erreur (je ne m'avancerais pas là-dessus ) :

    Et ceci, même si je n'ai pas le niveau pour savoir si c'est calculable, ou même pour le calculer, je pense qu'un logiciel comme Mapple te donne le résultat.

    D'alleurs, quand j'essaye, Mapple me donne un truc monstrueux (vraiment monstrueux, du genre une page) et suremet non fonctionnel, mais il me le donne

    Pour voir un peu, j'ai essayé avec , , , et Mapple me donne : avec qui correspond à je ne sais quoi...

    Petite remarque : On pourrait se débrouiller pour que dans notre repère, en faisant un agrandissement ou une réduction. On peut donc éventuellement enlever dans la formule, a condition de bien poser le repère.
    Quod erat demonstrandum.

  16. #15
    ydethe

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Euh Ca marche pas pour un cône droit, ça, si?
    J'ai fait 2/3 calculs pour le cône droit, et, avec les mêmes notations, (en considérant le patron du cône, et )
    La, physiquement, l'application de la formule de Elie520 pour E est homogène à une distance.
    Il faudrait revoir
    Et j'ai pas trop d'idées à ce sujet...
    Dernière modification par ydethe ; 08/07/2010 à 09h48.
    Je me Carl Friedrich

  17. #16
    Elie520

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Avec ma formule on trouve pour un cône droit au lieu de sur Wiki... Donc c'est sûrement ma définition de E qui est erronée .....
    Quod erat demonstrandum.

  18. #17
    Jon83

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Bonjour!

    J'ai également trouvé le calcul dans "Traité des fonctions elliptiques et des intégrale Eulériennes" page 329:
    http://books.google.fr/books?id=IC_v...page&q&f=false

    Donc, à priori, cette surface ne peut pas s'exprimer sous forme simple....

  19. #18
    silk78

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Hmm, est en effet faux.

    Tu dois intégrer sur une distance (un arc de cercle plus précisément) et pas un angle. Dans un cylindre, cette distance serait où r est le rayon ; le problème c'est qu'ici le rayon dépend de la hauteur donc tu ne peux pas choisir d'intégrer que selon theta. Je sais pas si je suis clair.

    De plus, l'intégrale que tu trouves, si je ne me trompes pas, c'est une intégrale elliptique, donc une intégrale qui n'est pas exprimable avec les fonctions usuelles. Par contre, il me semble qu'on peut l'exprimer comme une somme infinie.

    Silk

  20. #19
    Jon83

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Bonsoir!

    D'après mes références précédentes, et celles d'un forum anglais (http://mathforum.org/library/drmath/view/55017.html), j'ai essayé de traduire les calculs avec les hypothèses suivantes:
    - centre de la base positionnée à l'origine du repère (O,i,j,k)
    - cercle de base dans le plan (x, y)
    - sommet du cône en (O, d, h) (hauteur=h)
    L'équation paramétrique du cercle de base sera alors:
    x=r.cos(t)
    y=r.sin(t)
    z=0
    La distance au sommet d'un point M du cercle sera:
    sqrt(x²+(y-d)²+(z-h)² = Sqrt[(r.cos(t))²+(r.sin(t)-d)²+h²]
    Si alpha est l'angle formé entre la tangente au cercle au point M et le segment MA, la longueur de l'arc est: r.arcsin(alpha).dt.
    Le vecteur de la droite AM est: [-r.cos(t), d-r.sin(t), h]
    Celui de la tangente est: [-sin(t), cos(t), 0).
    Le produit scalaire de ces vecteurs et leurs modules donnent cos(A) et sin(A).
    L'aire du triangle avec cette hauteur et la base est égale à (1/2)distance*longueur de l'arc. Après quelques manipulations, on trouve:

    S= Somme(0, 2*pi){Sqrt[(r-d.sin(t))²+h²)]*(1/2).r.dt

    Vérification:
    Pour le cône droit, d=0, on a
    S=Somme(0, 2*pi){Sqrt[(r²+h²)]*(1/2).r.dt = pi.r.Sqrt(r²+h²)


    Calcul de l'intégrale:

    C'est une intégrale elliptique. On utilise les conventions de Mathématica (voir http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/. )
    En posant:
    s = Sqrt[(h²+(r-d)²)*(h²+(r+d)²)]
    m = 1/2*(1 - (h²+r²-d²)/s)
    n = 1/2*(1 - (h²+r²+d²)/s)
    alors, l'intégrale vaut:
    S = 2*r*Sqrt[s]*(EllipticE[m]-EllipticK[m]+(1-n)*EllipticPi[n,m])

    Enfin, pour ceux qui souhaitent mettre en œuvre , voici deux calculs
    contrôles:

    Pour h = 5, r = 3, d = 2, la surface latérale est 56,150873 ...

    Pour h = 1, r = 3, d = 4, la surface latérale est 33,857968 ...

    Conclusion

    Ce problème, qui à priori semblait banal, nous a entraîné bien au delà d'un simple problème de spé!!!!

  21. #20
    ydethe

    Re : Aire d'un cône quelconque

    Je ne comprends pas ceci
    Si alpha est l'angle formé entre la tangente au cercle au point M et le segment MA, la longueur de l'arc est: r.arcsin(alpha).dt
    Quelqu'un peut m'expliquer?
    Pourquoi arcsin? De quel arc parle-t-on?
    Je me Carl Friedrich

  22. #21
    Jon83

    Re : Aire d'un cône quelconque

    coquille! c'est r.sin(alpha).dt ....

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