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Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?



  1. #1
    philname

    Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?


    ------

    Comment connaitre l'aire d'un triangle quelconque connaissant simplement ses longueurs ?
    La formule de Héron croyais me satisfaire :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron

    mais il y a un problème que je viens de remarquer, il est dit que :
    "La formule de Héron présente une instabilité numérique qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres."

    Il y a bien sûre une formule qui permet de pallier à cette instabilité, mais j'ai peur qu'en faisant des bidouilles de droite à gauche , que celà ne corresponde plus à la réalité. J'ai divers triangles, c'est une simulation informatique plan x;y, les triangles changent d'aire, et peuvent devenir des droites, donc l'aire tend vers 0...C'est là que j'ai peur avec cette instablité de numérique, c'est que cette formule ne me donne pas l'aire exact arrivé à ce stade.

    J'ai pensé à la formule Al Kaschi, on a :
    a²=b²+c²-2bc*cosA
    De la relation d'Al Kaschi, on obtient:
    cosA = (b²+c²-a²)/2bc
    Cos A pour connaitre au moins un angle du triangle !

    De là on connait : La longueur de deux côtés (même si je connais les trois) du triangle et la mesure de l'angle adjacent à ses deux côtés.
    On peut alors calculer l'aire (exacte ????????????) :
    S = 0.5ab*sin c = 0.5bc*sin a = 0.5ca*sin b.

    Quelle est la meilleure méthode pour un maximum de précision ?
    Mais bon là j'ai un doute, puisque la formule Héron est enfait un raisonnement avec celle d'al Kaschi :
    http://orochoir.club.fr/Maths/heron.htm

    Mais elle sort d'où cette instabilité numérique ?

    -----

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  3. #2
    philname

    Re : Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?

    Citation Envoyé par philname Voir le message
    Comment connaitre l'aire d'un triangle quelconque connaissant simplement ses longueurs ?
    La formule de Héron croyais me satisfaire :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron

    mais il y a un problème que je viens de remarquer, il est dit que :
    "La formule de Héron présente une instabilité numérique qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres."

    Il y a bien sûre une formule qui permet de pallier à cette instabilité, mais j'ai peur qu'en faisant des bidouilles de droite à gauche , que celà ne corresponde plus à la réalité. J'ai divers triangles, c'est une simulation informatique plan x;y, les triangles changent d'aire, et peuvent devenir des droites, donc l'aire tend vers 0...C'est là que j'ai peur avec cette instablité de numérique, c'est que cette formule ne me donne pas l'aire exact arrivé à ce stade.

    J'ai pensé à la formule Al Kaschi, on a :
    a²=b²+c²-2bc*cosA
    De la relation d'Al Kaschi, on obtient:
    cosA = (b²+c²-a²)/2bc
    Cos A pour connaitre au moins un angle du triangle !

    De là on connait : La longueur de deux côtés (même si je connais les trois) du triangle et la mesure de l'angle adjacent à ses deux côtés.
    On peut alors calculer l'aire (exacte ????????????) :
    S = 0.5ab*sin c = 0.5bc*sin a = 0.5ca*sin b.

    Quelle est la meilleure méthode pour un maximum de précision ?
    Mais bon là j'ai un doute, puisque la formule Héron est enfait un raisonnement avec celle d'al Kaschi :
    http://orochoir.club.fr/Maths/heron.htm

    Mais elle sort d'où cette instabilité numérique ?
    Mais qu'est-je marqué .
    S = 0.5ab*sin c = 0.5bc*sin a = 0.5ca*sin b. Ca c'est pour un triangle rectangle.

    Alors que moi c'est du quelconque .
    Donc il faut connaitre 2angles. .
    Excusez-moi je suis sur un forum maths, mais j'ai plus trop l'habitude de les manier.

    Donc connaissant que les 3 côtes on doit obligatoirement passer par la formule de Héron, mais c'est quoi ette instabilité numérique ? Ca me dérange çà .

  4. #3
    Médiat

    Re : Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?

    L'expression instabilité numérique vient sans doute du fait que pour les triangles en épingle, par exemple avec c proche de 0, b est alors proche de a et s est alors proche de a, c'est à dire que sous la racine on a s-a et s-b tous deux proches de 0 que l'on multiplie entre eux avant de prendre la racine. C'est à dire que la précision de la machine qui fait les calculs doit être le double de la précision attendue.

    Si je ne me trompe pas, il n'y a pas de raison pour que la formule
    présente le même problème.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    philname

    Re : Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    L'expression instabilité numérique vient sans doute du fait que pour les triangles en épingle, par exemple avec c proche de 0, b est alors proche de a et s est alors proche de a, c'est à dire que sous la racine on a s-a et s-b tous deux proches de 0 que l'on multiplie entre eux avant de prendre la racine. C'est à dire que la précision de la machine qui fait les calculs doit être le double de la précision attendue.

    Si je ne me trompe pas, il n'y a pas de raison pour que la formule
    présente le même problème.
    merci j'ai essayé avec excel les deux formules, et il y a le même résultat !

    JE pense que excel fait quand même les calculs avec une grande précision.

  6. #5
    prgasp77

    Re : Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    L'expression instabilité numérique vient sans doute du fait que pour les triangles en épingle, par exemple avec c proche de 0, b est alors proche de a et s est alors proche de a, c'est à dire que sous la racine on a s-a et s-b tous deux proches de 0 que l'on multiplie entre eux avant de prendre la racine. C'est à dire que la précision de la machine qui fait les calculs doit être le double de la précision attendue.

    Si je ne me trompe pas, il n'y a pas de raison pour que la formule
    présente le même problème.
    Oui pas de doute. La formule de héron est vrai pour tout triangle (sauf les cas dégénérés ou un coté a une longueur nulle). En revanche comme le précise Médiat, la précision doit être un problème pris au sérieux (est-tu sur pour le double, il me semble que cela dépend du coté le plus court).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    (est-tu sur pour le double, il me semble que cela dépend du coté le plus court).
    Salut prgasp77
    Si s-b et s-c sont de l'ordre de leur produit est de l'ordre de et la racine à nouveau de l'ordre de , pour obtenir un résultat de l'ordre de , il faut que la machine puisse calculer sur des nombres de l'ordre de .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    philname

    Re : Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Salut prgasp77
    Si s-b et s-c sont de l'ordre de leur produit est de l'ordre de et la racine à nouveau de l'ordre de , pour obtenir un résultat de l'ordre de , il faut que la machine puisse calculer sur des nombres de l'ordre de .

    c'est bon, je viens d'essayer une calcul de test !
    Excel me fait un calcul sur 10^-24

  11. #8
    prgasp77

    Re : Aire d'un triangle quelconque : formule de Héron oubien Al Kaschi ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Salut prgasp77
    Si s-b et s-c sont de l'ordre de leur produit est de l'ordre de et la racine à nouveau de l'ordre de , pour obtenir un résultat de l'ordre de , il faut que la machine puisse calculer sur des nombres de l'ordre de .
    Oui en effet, merci.

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