Résolution équation différentielle

[invite06a166f3]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre une équation différentielle. Celle-là :

Avec A, une constante. Merci d'avance
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[inviteaf1870ed]

C'est une équation à variables séparables, rien de bien sorcier : tu écris

y'=dy/dt=sqrt(A/y - 1) <=> dy/sqrt(A/y - 1) = dt

et tu intègres de part et d'autres...

[invite06a166f3]

Je suis désolé, je ne suis certainement pas doué mais je ne trouve pas grand chose, pourrais-tu détailler ton calcul ?

[inviteaf1870ed]

On trouve un truc affreux en y : http://www09.wolframalpha.com/input/...8A-+y%29%29+dy

et on a t en fonction de y.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06a166f3]

Je pense que tu me comprendras si je te dis que je n'ai vraiment pas le courage de faire ces calculs. Il me faudrait y en fonction de t, tu n'aurais pas le résultat par hasard ?

[mc222]

salut, voici ma résolution:

par la séparation des variables, on tombe sur :



On pose le changement de variable :



et donc :



D'où:



avec



On trouve donc :

[invite091bc544]

Il faut préciser pas mal de trucs en plus en ce qui concerne les domaines de définition :
*il faut que y soit dans ]0, A[, (pour justifier le changement de variables de mc222)
*il faut que la fonction qui relie à y soit strictement croissante sur l'intervalle concerné

Si une des ces conditions n'est pas vérifiée, il faut faire une disjonction des cas.
Je n'ai pas vérifié, mais il semble qu'ici, il n'y ait pas de problème

[inviteaf1870ed]

Je pense que tu me comprendras si je te dis que je n'ai vraiment pas le courage de faire ces calculs. Il me faudrait y en fonction de t, tu n'aurais pas le résultat par hasard ?

Hélas, au vu de la forme de t en fonction de y, cela ne me parait pas possible !

[invite06a166f3]

Alors il n'existe aucun moyen d'obtenir y en fonction de t ??

[inviteaf1870ed]

Je ne pense pas, par contre tu peux facilement tracer t en fonction de y, et ensuite prendre le symétrique par rapport à la première diagonale pour avoir la courbe de y en fonction de t

[invite15928b85]

Bonjour.

Le changement de variable proposé par mc222 est bien trouvé. Dommage qu'il ait fait une erreur de signe en cours de route.
Je trouve :

ce qui semble coller, en tant que fonction réciproque, avec la résolution numérique de l'équation initiale.
Quant à exprimer y en fonction de x, ça ne paraît pas gagné d'avance ...

[mc222]

je suis jamais à l'abris d'une erreur de signe ^^

Pour exprimer y en fonction de x, c'est à mon avis impossible.

Prennons l'exemple de la sinusoide, on peut exprimer sin(x) en fonction de x, car chaque abscisse à une ordonnée correspondante.
Mais on ne peut pas trouver pour une ordonnée donnée, l'abcisse correspondante, à moins de restreindre le domaine de définition de la fonction...

[inviteaf1870ed]

On peut traiter le problème "à la physicienne" : on voit que le régime permanent est la valeur constante A (qui est solution de l'équation); on peut essayer de faire un développement limité de la solution en posant y=A+e(t)

[invite06a166f3]

Et avec cette méthode, je peux trouver y en fonction de t ? Et à quoi correspond e(t) ?

[invite091bc544]

Non Avec cette méthode, on peut avoir une approximation linéaire de y autour de la valeur A.
e(t) est l'écart entre y et A, que l'on considère (physiquement) faible devant A
Et pour faire ce que propose ericcc, il faut trouver l'équation vérifiée par e