Intégration, methode Monte Carlos

[invite66ac4c45]

Bonjour à tous !

Je voudrais approcher une intégrale double que je n'arrive pas à calculer analytiquement par une méthode Monte Carlos, mes questions sont les suivantes :

- est il vraiment nécessaire d'utiliser cette méthode pour une intégrale "seulement" double ?

- si oui, comment choisir concrètement le domaine "simple" contenant mon domaine d'intégration ?

- une fois ce domaine choisis je dois tirer un certain nombre de points au hasard ou je dois ensuite évaluer la fonction à intégrer pour en extraire une valeur moyenne que je dois ensuite multiplier par le volume du domaine pour obtenir une approximation de mon intégrale ?

-si la procédure ci dessus est bonne, je ne vois pas très bien en quoi c'est une bonne approximation car le domaine d'intégration n'est pas le bon et car j'utilise des valeurs moyennes ?

Je vous remercie d'avance pour vos remarques et vos conseils !!
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[inviteae4072e1]

Les simulations de MC sont utilisées afin d'approximer une intégrale sur R de la façon suivante (ou p désigne la densité de probabilité de la variable X) :



Or en utilisant la Loi des grands nombres on a pour n suffisamment grand et (Xi) des VA iid :



Par conséquent au final :



pour n suffisamment grand.

Si tu prends X une VA de loi uniforme sur un intervalle [a, b] alors in fine :

[invite66ac4c45]

Je me suis peut être mal exprimer, je cherche à utiliser une méthode Monte Carlos pour approcher une intégrale multidimensionnelle car j'ai lu que les méthode "traditionnelle" ne convergeaient que très lentement (lorsqu'elle convergeaient !), je n'est donc pas de loi de probabilité sur ma variable d'intégration ! Peut être que vous verriez mieux le problème si je vous donnez l'intégrale en question ? Si oui dites le moi !

Merci pour vos réponses.

[inviteae4072e1]

Le soucis de la vitesse de convergence va également se poser via une méthode de MC. Car plus le nombre de simulations est important, plus la convergence est améliorée. On peut toutefois utiliser des méthodes probabilistes (variables antithétiques, variables de contrôles, méthodes Quasi-MC, générateurs de nombres pseudo-aléatoires, etc.) afin d'améliorer les vitesses de convergence. Cependant, le résultat pour un tirage de 1000 simulations ne sera pas le même que pour un tirage de 1 000 000 de simulations... (il faut de plus s'assurer que l'ordinateur qui tire les simulations possède assez de mémoire RAM). Sans parler du temps d'obtention de résultats (qui est le principal problème rencontré en MC).

Quelle est donc cette double intégrale qui pose problème ? (par curiosité)

P.S. : Monte Carlo (sans s)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66ac4c45]

Bonjour,

L'intégrale en question est la suivante :



Je n'ai pas trouvé de solution analytique mais si vous en trouvez une, je veut bien que vous m'aiguillez un peut !!

[inviteae4072e1]

Bonjour,

L'intégrale en question est la suivante :



Je n'ai pas trouvé de solution analytique mais si vous en trouvez une, je veut bien que vous m'aiguillez un peut !!

Même sous Maple (ou tout logiciel de calcul formel) tu n'obtiens pas de résultat ?

[invite66ac4c45]

Je ne possède pas de logiciel de calcul formel et la fac étant fermée ...

Si vous pouviez essayer et me dire si il existe une solution analytique ça m'arrangerais, Merci d'avance !!

[inviteae4072e1]

Es-tu sous Mac OS X ? (simple question)

[invite66ac4c45]

Non je suis sous vista, bon je sais ça craint ..., et je programme en C , avec DevC++ mais bon comme j'ai jamais fait d'orienté objet le ++ ne sert pas à grand chose ...