Somme

[invite332de63a]

Bonjour,

Je souhaiterai montrer l'égalité de ces deux termes mais je ne fait que tourner en rond. Si quelqu'un pouvait me donner une piste.
Merci (elle se trouve en pièce jointe sous forme de jpg)
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[Médiat]

Le membre de droite dépend de p et pas le membre de gauche, êtes-vous sur de cette formule ?

[invite332de63a]

oula oui j'ai du faire une erreur en la recopiant, vais chercher l'erreur.

[invite332de63a]

Voici qui est mieux ^^ Merci pour cette remarque

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Voici qui est mieux ^^ Merci pour cette remarque

La variable de la deuxième somme devrait être j et non i.

Mais surtout, sauf erreur de calcul, pour n = 2, on trouve
(p-1)² = 2^p-1 - 1, ce qui est faux.

Pouvez-vous nous dire d'où vient cette formule ?

[invite332de63a]

(effectivement pour le i et le j décidemment la retransciption n'est pas mon fort)

Je l'ai mise sous format maple et pour n=2 on trouve 2^(p-1)-1=2^(p-1)-1
non?
Elle vient de deux manières différentes de compter des carrés (pour faire simple )

On aligne n carrés de cotés respectifs 1,2,3 ... ,n ce qui rentre donc dans un rectangle de longueur n(n+1)/2 et hauteur n

On cherche à calculer les carrés manquants dans le rectangle

1ere méthode : l'aire du rectangle moins celle de la suite de carrés
2ème méthode : on compte par reccurence au dessus du carré d'indice i le nombre de carrés soit 1 puis 1+(1+2) puis 1+(1+2)+(1+2+3) etc ...

Ceci étant fait pour p=2,

p décrit la dimension de l'espace dans le quel on se situe donc pour p=2 le plan.

Avec les carrés pour p=2, cubes pour p=3 etc ...

Et "on compte" dans chaque cas car c'est bien ceci le moins "évident"

En considérant que sur 1 coté d'un hyper cube de dimension p on peu poser 2^p hyper cube de dimension p-1

J'espère avoir été clair ^^

[Médiat]

Si on remplace n par 2 dans votre formule la première somme impose k = 1, à gauche il reste :


qui est égal à

et donc


A moins que ne soit pas le nombre de façons de choisir k éléments parmi p ...

[invite332de63a]

Oups!! autre erreur de retranscription désolé pour ma bétise! mettre i à la place de k ou alors mettez plutôt (k+1)^(p-1) -k^(p-1) à la place de cette somme, que d'étourderies

[invite332de63a]

Soit celle ci j'espère exempte d'erreur!

[invitec317278e]

Salut,

avec une telle formule, je fixerais p, puis tenterais une récurrence sur n. Mais vu le nombre d'erreurs dans la formule qu'il y a eu jusqu'à présent, je n'ai pas eu l'envie de tester.

[invite332de63a]

Merci Thorin

Apparemment il n'y a plus d'erreur c'était deux étourderie de repport car j'ai la bonne sur maple et je l'ai tester sur une bonne 100ène de valeur et ca marche

J'ai essayer de l'attaquer de front mais je reste bloquer...

[Médiat]

Soit celle ci j'espère exempte d'erreur!

Etes-vous certain que la borne supérieure de la première somme est n-1 ? Est-ce que ce ne serait pas plutôt n ?

[invitebe08d051]

Salut,

En reprenant le premier terme de ta formule:


On a : .

Aussi:

Ta formule s'écrit alors:


Je suis du même avis que Médiat, le terme en se simplifie à gauche, la somme doit nécessairement aller jusqu'à .

[invite332de63a]

Pourtant si sous maple je remplace n-1 par n alors les résultats sont faux ...

Si vous voulez lors de la superposition des carrés (comme j'explique plus haut) le terme de gauche revient a compter le nombre de carré manquant en en ayant posé n, donc on compte les carrés manquant au dessus de la suite des n carré dans le rectangle de cotés n et n(n+1)/2, donc on s'interesse a ceux qui sont au dessus des n-1 premiers car le nème prend la même largeur que le rectangle.(pour la dimension deux) voilà pourquoi ça finit à n-1

Pour le terme de Droite on calcul " l'aire " du rectangle en dimension p donc p-1 largeur de dimension n et une de dimension n(n+1)/2 à la quelle on retire celle des carrés soit une "aire" totale de 1^p+2^^+...n^p.

Je vous y joint un dessin explicatif en dimension 2

[Médiat]

Pourtant si sous maple je remplace n-1 par n alors les résultats sont faux ...

Exact, cela marche.
J'ai fait les mêmes calculs que mimo13, donc, en partant de :


qui peut s'écrire :



Avec une petite astuce :



en remarquant que les deux premiers termes de la somme de gauche, s'annule :



On arrive au bout



finalement



cqfd

[invite332de63a]

Merci "Médiat", je vais noter çà de suite ^^

RoBeRTo