Résoudre une équation avec arcsin

[invite4f299d99]

Bonjour à tous,

J'ai une équation où il faut trouver les valeurs de x possibles:

d=[v².sin(2x)]/g

où d, v et g sont des constantes réelles.

La solution la plus facile à trouver est: x₁=1/2.arcsin(g.d/v²)
Mais il y en a une autre qui est x₂= π/2 - 1/2.arcsin(g.d/v²)

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi il y a 2 solutions et pas une, ni même comment on peut faire pour trouver x₂...
Est-ce que c'est parce que la fonction arcsin est définie sur un intervalle de longueur π: [- π/2; π/2], et que dans le cercle trigo, le sinus correspondant (l'antécédent de arcsinus) peut se trouver dans les 2 moitiés d'où 2 solutions? (C'est pas très clair pour moi et donc mon explication s'en fait ressentir ^^').

Merci de bien vouloir m'aider
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[Fanch5629]

Bonjour.

Vous devez garder en tête que l'équation que vous cherchez à résoudre est sin(2 x) = g.d/v² et donc répondre à la question : quel est l'angle dont le sin est ... Faites un dessin du cercle trigonométrique et vous comprendrez tout de suite.

En fait, il y a une infinité de solutions, le contexte permettant de ne retenir que celle ou celles qui ont une sens.

Cordialement.

[invite4f299d99]

D'accord, mais comment fait-on alors pour trouver les 2 solutions, enfin surtout x₂? (Physiquement, x est l'angle que fait le vecteur-vitesse initial v₀ avec l'horizontale. Il y a 2 solutions car l'un correspond au tir tendu, et l'autre au tir en cloche).

[Fanch5629]

Re.

Je ne comprends pas vraiment où vous restez bloqué ...

J'ai fait le problème de mon côté et j'arrive à la même équation à résoudre : sin(2 x) = gd/v²

C'est une équation trigonométrique classique du type sin(x) = a qui admet pour ensemble de solutions (si -1 <= a <= 1, bien sûr):

{ Arcsin(a) + 2 k₁ Pi, Pi - Arcsin(a) + 2 k₂ Pi }, k₁ et k₂ entiers relatifs

Le reste va de soi, je pense ...

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Tracez votre cercle de rayon 1, et la droite horizontale d'ordonnée a. Les deux points d'intersection représentent les deux racines, modulo 2kπ, de l'équation sin x = a.

[invite4f299d99]

Ok j'ai finalement compris.

Et donc si ça avait été une équation avec cette fois du cosinus: cos(x)=a (a appartenant à [-1;1]), alors les solutions auraient été {+arccos(a) [2π] ; -arccos(a) [2π]}..?

[Fanch5629]

Oui, exactement.

Au revoir.