Résoudre une équation avec un discriminant complexe.

[invite621a8f3c]

Bonjour,

Comment calculer la racine carré d'un combre nomplexe?

Je dois résoudre l'équation z^3-(1+2i)z^2+3(1+i)z-10(1+i)=0

le trouve delta = -15+8i
j'ai essayer de mettre sous forme exponentielle mais j'arrive pas. Et comment trouve t-on la racine après la mise sous forme exp ?

Merci d'avance.
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[invite4793db90]

Salut,

1) Pour exprimer ton nombre complexe sous sa forme exponentielle, il suffit de déterminer son module et un argument.

2) Une racine carrée d'un nombre complexe de module 1 est par exemple le nombre complexe de module 1 dont l'argument est la moitié de celui de . Je te laisse en déduire le cas général.

Cordialement.

[invitea3eb043e]

C'est quoi le delta d'une équation du troisième degré ?
Autrement, pour calculer la racine carrée d'un complexe, on peut aussi résoudre l'équation :
(a + i b)² = -15 + 8 i ce qui donne
a² - b² = - 15
2 ab = 8
et c'est assez facile ensuite

[invite6f25a1fe]

C'est quoi le delta d'une équation du troisième degré ?

Si tu pars de l'équation générale Il faut d'abord se ramener à l'équation ce qui se fait facilement en posant x=y-b/(3a)

Ensuite le discriminant de l'équation est tout simplement où on étudie son signe (pour les équations à coef reel, ce qui n'est pas le cas ici !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621a8f3c]

Bonjour à tout le monde,

Merci pour toutes vos réponses, cependant, je ne comprends pas très bien la méthode de Martini_Bird.

Vous me dites que "Une racine carrée d'un nombre complexe de module 1 est par exemple le nombre complexe de module 1 dont l'argument est la moitié de celui de . Je te laisse en déduire le cas général."

Je ne comprends pas trop l'explication, pouvez vous me donner un exemple ?

Comment trouve t-on les argument lorsqu'on ne reconnait pas des valeurs remarquables de cos et sin ?

[invite4793db90]

Salut,

Merci pour toutes vos réponses, cependant, je ne comprends pas très bien la méthode de Martini_Bird.

Désolé, j'ai survolé trop vite l'équation et, induit en erreur par le titre, je pensais qu'elle était du second degré : j'indiquais par conséquent comment calculer une racine carrée d'un nombre complexe.

Cordialement.

[invitea3eb043e]

Comment trouve t-on les argument lorsqu'on ne reconnait pas des valeurs remarquables de cos et sin ?

Pas de méthode générale ou alors avec des arc sinus pas possibles, il vaut mieux utiliser l'équation (a + ib)² = ton nombre. Ca marche toujours et c'est ainsi qu'on peut calculer de nouvelles valeurs remarquables de sinus et cosinus.

[breukin]

Il y a très peu de chances en général que la méthode théorique de résolution des équations du troisième degré permette de calculer effectivement les racines sous forme radicale.

Cela dit, ici, les racines sont –1+3i, et 2+i et –2i. C'est cette dernière racine qui doit pouvoir être trouvée comme "évidente", ramenant ainsi à une équation du second degré après factorisation.