Une utilisation surprenante de l'axiome du choix !

[Médiat]

Je suis d'accord avec Ksilver, et j'ajoute :

Si vous avez 100 boîtes devant vous et que l'on vous donne le droit d'en ouvrir 99, et d'anoncer un max pour la 100ième, il vous suffit de prendre le max des 99 ouvertes pour avoir 99 chances sur 100 de gagner !

je ne suis pas tout à fait d'accord

Faites le calcul

si on a 100 pièces (pile/face, 0 ou 1) dans 100 boites, on connait la distribution de probabilité qu'une pièce soit sur pile (0) ou face (1) : c'est 1/2, 1/2

on en ouvre 99 :
- 45 sont sur face 44 sur pile, on annonce avec 100% de chance de gagner que le max est 1
- 0 sont sur face 99 sur pile, on annonce pile (0) ou face (1), c'est équiprobable

tout dépend à mon sens de la distribution de probabilité de la v.a. dont on cherche à déterminer le max empirique (qui est une v.a également)

1er cas, 45 faces et au moins 44 pile, donc vous avez au moins une face visible, donc le max trouvé est 1, en annonçant que le max dans la dernière est 1, vous avez 100% de chance de gagner.
2ème cas 100 piles, vous ne voyez que des 0 donc en annonçant que le max est 0, vous avez 100% de chance de gagner
3ème cas 99 piles et 1 face, vous avez 99 chances sur cent de voir l'une des faces, vous direz que le max est 1 et vous gagnerez, et 1 chance sur 100 d'avoir les 99 piles, vous direz que le max est 0 et vous perdrez.

Vous voyez bien que dans tous les cas vous avez au moins 99% de chances de gagner en appliquant cette stratégie (il y aurait plus simple ici ).
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[acx01b]

vous avez 99 chances sur cent de voir l'une des faces

bonjour, je crois qu'on s'est mal compris

je suis tout à fait d'accord sur le fait que << la probabilité qu'en ouvrant 99 boites sur 100 le max soit dans les 99 >> vaut 0.99

par contre ce que je dis c'est qu'une fois ouvertes les 99 boites et les valeurs qu'elles contiennent connues , la probabilité que le max soit dans les 99 boites ne vaut plus forcément 0.99

cette probabilité dépend de la distribution de la v.a. et des valeurs obtenues dans les 99 premières boites

[Médiat]

bonjour, je crois qu'on s'est mal compris

La signification de 99% a été explicité dès le premier message ! Dans le cas des boîtes, si 100 personnes font l'expérience, chacun n'ouvrant pas une boîte différente, combien de personnes auront le max dans leurs boîtes ouvertes ?

[acx01b]

ok je pense avoir (enfin) mieux compris,

situation A : 100 personnes différentes font l'expérience de l'énigme en même temps, chacune avec un numéro de suite différent, alors au moins 99 trouveront la bonne réponse (ça été déjà décrit comme ça dans des messages précédant).

situation B : par contre, si une seule personne fait l'expérience avec un numéro de suite quelconque, elle a une probabilité nulle de trouver la bonne réponse.

la différence que je vois entre les 2 cas est que les 100 personnes qui font l'expérience en même temps se sont d'abord communiquées la fonction de choix (qu'elles possèdent en commun), ça fait cogiter en effet ...

[Médiat]

situation B : par contre, si une seule personne fait l'expérience avec un numéro de suite quelconque, elle a une probabilité nulle de trouver la bonne réponse.

Je ne vois pas comment vous calculez ça

[invite4b7fb1ff]

Salut,

Superbe résultat !
Quand tu dis

certains ont cru y voir une raison valable de rejeter définitivement l'axiome du choix !

Ta phrase est tournée de telle façon qu'on dirait que ces personnes ont changé d'avis depuis... ou que tu es toi-même un fervent partisant de cet axiome qui nous en fait voir de toutes les couleurs ! (qu'en est-il ? )

En tous cas, c'est vraiment troublant, merci !

(je viens de lire un article sur le théorême du libre arbitre, je sens que je vais faire des cauchemars cette nuit !)

[invite4ef352d8]

acx01b >>> Tranchons la question : si on suis la description précise que j'ai donné du problème :

disons qu'on a deux joueurs (1 et 2) et que le jeu se déroule sous forme d'une suite d'étape :

1)le joueur 2 choisit 100 suites de nombres réel, sans les révéler au joueur 1.
2) le joueur 1 choisit un nombre i de 1 à 100.
3) le joueur 2 révèle toutes les suite au joueur 1 sauf la suite numéro i et choisit un entier >0 k.
4) le joueur 1 choisit k entier positif deux à deux distincts.
5) le joueur 2 révèle tout les termes de la suite numéro i sauf les k termes portant les numéro choisit par le joueur 1.
6) le joueur 1 choisit k nombre réel (ordonée)
fin) si les k nombres réel choisit par le joueur 1 coïncident avec les k terme de la suite pas encore révélé par le joueur 2 alors le joueur 1 gagne, sinon il perd.

Alors ce qu'on a démontré, c'est que (l'axiome du choix étant supposé vrai) il existe une strategie* permettant au joueur 1 de gagner avec plus de 99% de chance quelque soit la strategie du joueur 2.

* : une strategie sera ici la donné de, pour chaque fois que le joueur doit faire un choix, une fonction déterminant ce choix à partir des donné précédemment révélé et d'une variable aléatoire (qui permet de donner un sens au 99% de chance)

La fameuse strategie du joueur 1 (on a bessoin de l'axiome du choix) consiste a (une fonction de choix etant fixé une fois pour toute) tirer au sort le numero choisit à l'etape 2, puis de repondre aux étape 4 et 6 en suivant la construction donné (utilisant notre fonction de choix)

le joueur perd si et seulement si il choisit à l'etape 2 l'unique suite Un qui a le "N_i" maximal. il a donc bien une chance sur 100 d'echouer.

si tu n'es pas d'accord avec cela... je ne vois vraiment pas quoi ajouter à moins que tu puisse nous expliquer clairement pourquoi tu n'es pas d'accord.





autre chose qui na compltement rien à voir : il me semble qu'on peut faire encore mieux (pas fondamentalement, mais en le rendant nettement plus simple et plus spectaculaire dans l'enoncé, mais plus complexe dans la construction)
Si le joueur 2 choisit une suite Un quelconque, le joueur 1 choisit un ensemble P_1 d'indice et demande aux joueur 2 de réveler tout les termes de la suite dans cette ensemble d'indice, puis, il recommence avec un autre ensemble P_2 d'indice, le joueur 1 peut alors deviner (avec une probabilité de réussite arbitrairement proche de 1) un nombre (fini) arbitrairement grand de terme de la suite n'etant dans aucun des deux ensemble P_1 et P_2 precedent, et ce avec une probabilité de réussite arbitrairement proche de 1.
Il suffit de subdiviser la suite Un en un nombre arbitraire de sous suites et d'appliquer la methode précedente à ses sous suites.

je me demande même si en subdivisant en un nombre infini de sous suite on peut pas réussir à deviner un nombre infini de terme ...

[Médiat]

Ta phrase est tournée de telle façon qu'on dirait que ces personnes ont changé d'avis depuis... ou que tu es toi-même un fervent partisant de cet axiome qui nous en fait voir de toutes les couleurs ! (qu'en est-il ? )

Effectivement la tournure de ma phrase est lourde de sous-entendus, tout à fait invonlontaires .

Epistémologiquement, je suis formaliste dans l'âme, et comme il a été prouvé, par Gödel et Cohen que AC est indécidable dans ZF, je n'ai donc aucun problème à travailler dans ZF, dans ZF + AC ou dans ZF + nonAC. Il se trouve que ZF + AC permet de démontrer des résultats que je trouve très intéressants, comme une bonne définition des cardinaux, je n'ai donc rien contre cet axiome, au contraire j'en serais plutôt un "fervent partisan".

[Médiat]

le joueur 1 peut alors deviner (avec une probabilité de réussite arbitrairement proche de 1) un nombre (fini) arbitrairement grand de terme de la suite n'etant dans aucun des deux ensemble P_1 et P_2 precedent, et ce avec une probabilité de réussite arbitrairement proche de 1.
Il suffit de subdiviser la suite Un en un nombre arbitraire de sous suites et d'appliquer la methode précedente à ses sous suites.

Pour ceux qui douteraient de ce résultat : avec 100 suites la probabilité de réussite est de 99%, avec 1000 suites elles serait de 99.9% etc. Et comme il est toujours possible de subdiviser une suite en n sous-suites (cf. la deuxième formulation, où une seule suite apparaît dans l'énoncé), on peut obtenir une probabilité de 1-1/n.

je me demande même si en subdivisant en un nombre infini de sous suite on peut pas réussir à deviner un nombre infini de terme ...

Là par contre je ne vois pas le lien entre le nombre de sous-suites, et le nombre de terme devinés (prendre les termes dans différentes sous-suites ferait perdre la "bonne " probabilité de réussite) ; de plus un nombre infini de sous suites pourrait donner un max infini, et du coup on ne peut plus rien deviner

[invite4ef352d8]

Et pourtant, (sauf erreur) c'est possible :

si on dispose d'une infinité de suite, on peut utiliser les n_1 premières pour deviner k termes avec une probabilité (1-1/n_1), et simultanement utiliser les n_2 suivante pour deviner k autres termes avec une proba (1-1/n_2) etc...

si on repète l'opération un nombre infini de fois en prenant les n_i de plus en plus grand et à croissance suffisement rapide (de tel sorte que la somme des 1/n_i converge typiquement), la probabilité de ne jamais ce tromper reste non nul (et peut-être arbitrairement proche de 1) !


d'ailleurs en procédant ainsi on a une proba 1 de trouver une infinité de réel juste parmis ceux qu'on propose.

[Médiat]

Bonjour,

si on dispose d'une infinité de suite, on peut utiliser les n_1 premières pour deviner k termes avec une probabilité (1-1/n_1), et simultanement utiliser les n_2 suivante pour deviner k autres termes avec une proba (1-1/n_2) etc...

ET donc avec une probabilité d'avoir juste aux 2 tirages de (1-1/n₁).(1-1/n₂)

si on repète l'opération un nombre infini de fois en prenant les n_i de plus en plus grand et à croissance suffisement rapide (de tel sorte que la somme des 1/n_i converge typiquement), la probabilité de ne jamais ce tromper reste non nul (et peut-être arbitrairement proche de 1) !

Etes-vous sur que l'on peut rendre ce produit aussi proche de 1 que l'on veut (j'ai l'impression que oui, mais la démonstration me paraît un peu calculatoire) ?

[Thorin]

Salut,
S'agit-il de montrer que pour tout epsilon strictement positif, il existe une suite vérifiant ?

Si oui, la réponse est oui.

[Médiat]

Bonjour,

Si oui, la réponse est oui.

Je m'en doutais un peu mais je n'avais pas envie de faire les calcul, car il me semble qu'un DL d'ordre 1 de ln(1-1/n) n'est pas suffisant pour conclure, et qu'il faut faire un encadrement "qui va bien".

merci en tout cas.

[Thorin]

(pour une démo rapide : soit la suite qui à n associe le nombre premier, on pose , et on utilise une égalité d'euler : http://upload.wikimedia.org/math/5/7...e3e9ca2ff1.png

comme tend vers 1 quand s tend vers l'infini, le résultat est établi. )

[Thorin]

On peut aussi faire intervenir les fonctions

On remarque que converge normalement donc uniformément sur , que les sont toutes continues, et on en conclut que tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
Ainsi, tend vers 0 quand x tend vers l'infini, d'où le résultat.

Celle-ci a l'avantage de ne pas faire intervenir le produit eulérien, car la démonstration de l'égalité liant les nombres premiers et zeta n'est pas non plus complètement trivial

De plus, c'est de cette manière que l'on montre facilement que le produit est non nul si et seulement si la suite à termes positifs supérieurs à 1 est telle que converge.

[Médiat]

On peut aussi faire intervenir les fonctions [...]

Cette solution ne me va pas car faire tendre x vers l'infini, cela veut dire que dès la première suite on la découpe en un nombre infini de suite, alors que ce n'est pas le cas. C'est pourquoi je disais que la solution DL ne me convenait pas, et que je préconisais un encadrement.

La question plus précise est bien celle de votre message de 13h46, et on ne peut pas poser .

Pour caricaturer : je peux comprendre que l'on demande à un joueur de démarrer une stratégie et de la prolonger jusqu'à l'infini, mais je ne comprends pas qu'on lui demande de démarrer sa stratégie après qu'il soit aller à l'infini .
(Ne pas prendre trop au pied la lettre la phrase précédente)

[Thorin]

Re,

Pourtant, il me semble bien que cela répond à mon message de 13h46

En effet :
tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

Donc,
tend vers 1 quand x tend vers l'infini.

Donc, soit , il existe tel que

On pose finalement

Et on a bien

[Médiat]

Donc, soit , il existe tel que

On pose finalement

Et on a bien

Ecrit comme cela (sans limite explicite), ça me va beaucoup mieux