Salut,
on a que 100suites, à la base.
Pour un nombre fini de suite, il n'est de toute façon pas problématique d'associer à une suite sa classe d'équivalence, pas besoin d'une fonction. (de même qu'on ne se sert pas réellement de l'axiome du choix si on ne considère l'image par f que d'un nombre fini de classe d'équivalence).
En revanche, pour établir l'existence de l'ensemble que j'ai noté E plus haut, il est nécessaire d'utiliser l'axiome du choix.
Dernière modification par Thorin ; 22/08/2010 à 21h14.
MIchel :
l'existence de cette fonction qui a un element associe ca classe d'equivalence est assuré principalement par l'axiome de compréhension et surtout par la définition de ce qu'est une classe d'équivalence.
quand tu prend un element x, l'axiome de compréhension t'autorise à considéré l'ensemble de y tel que xRy, qui est justement par définition la classe d'équivalence de x.
Je vais essayer de répondre plus précisément (avec l'aide de wikipedia, car je ne connais point la théorie des ensembles de manière plus approfondi que ce qui est nécessaire en prépa).
Qu'est-ce qu'une fonction ?
une fonction est un triplet (E,F,G), E l'ensemble de départ, F l'ensemble d'arrivée, G le graphe : une partie de ExF, telle que
Ici, si on veut montrer l'existence de la fonction g, il faut montrer l'existence de ces 3 ensemble.
l'ensemble de départ de g est l'ensemble des suites (je le note maintenant E), il existe ; l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des classes (F), il existe.
le graphe :
-ExF existe, on utilise ensuite le schéma d'axiomes de compréhension : pour tout ensemble A et propriété P, l'ensembleexiste.
ici, pour A, on prend ExF, et pour P:
Du fait des propriétés élémentaire des classes d'équivalence il est clair alors qu'on définit bien une fonction.
Est-ce correct ?
Je ne vois pas la différence. Mais de toute manière, je ne mets pas en doute qu'il "n'y ait pas de problème", je pose juste la question comment on le justifie.Envoyé par Thorin
D'une certaine manière je trouve plus "acceptable" l'axiome du choix (qui "descend" d'un ensemble vers un élément) que la fonction qui a un élément lui associe une énorme classe d'éléments !
Oui, et c'est assez troublant. Parce que si on dit qu'on ne dispose de f que sur les 100 classes, je ne vois pas ce que cela change au problème.(de même qu'on ne se sert pas réellement de l'axiome du choix si on ne considère l'image par f que d'un nombre fini de classe d'équivalence).
J'essaye de comprendre en quoi AC est critique dans les stratégies. Mais ce que je trouve critique est lié à g, pas à f.
Ce qui est critique est que fog soit pré-définie sur l'union des 100 classes, il me semble.
Il me semble que si on remplace dans le jeu de Ksilver l'étape 3) par :
3) le joueur 2 révèle toutes les suite au joueur 1 sauf la suite numéro i, ainsi qu'une machine fog marchant pour l'union des 100 classes ;. et choisit un entier k>0
il n'y a aucune différence. Les nombre N_i sont bien définis (le joueur 2 les connait, et le joueur 1 pourra vérifier après coup), il y en a bien un max, etc.
Le point critique est bien que la machine réponde toujours la même chose pour toute suite construite comme la i-ème dans laquelle on a remplacé k termes par n'importe quoi. Et ça, c'est g, ce n'est pas f.
J'en était arrivé là aussi, mais cela m'a envoyé sur une "tangente", en lisant le texte sur l'axiome de remplacement et la différence entre ce dernier et l'axiome de compréhension.
D'où une demande de confirmation, que tu as formulée plus précisément.
Au passage j'ai été troublé par le mot "subclass" dans le wiki anglais à propos de l'axiome de remplacement :
Less formally, this axiom states that if the domain of a function f is a set, and f(x) is a set for any x in that domain, then the range of f is a subclass of a set, subject to a restriction needed to avoid paradoxes.
Cette partie là ne me pose pas de problème, chaque classe d'équivalence est bien définie. Mais cela ne définit pas une fonction, pour cela il faut aussi que la classe des classes d'équivalence soit un ensemble.
D'ailleurs, je réalise que le texte de Thorin passe à toute allure sur ce point.
Quel axiome permet de considérer que les classes d'équivalence forment un ensemble (et pas une classe impropre) ? L'axiome de remplacement ?
re,
la classe des classes d'équivalence est un élément de l'ensemble des partie
Ensuite, on utilise à nouveau les axiomes de compréhension :
Soit P la propriété qui s'applique à des éléments de
j'espère que je ne me trompe pas dans l'utilisation des axiomes, n'hésitez pas à me corriger, j'improvise.
Dernière modification par Thorin ; 22/08/2010 à 22h20.
l'ensemble des classes d'equivalence c'est :
donc c'est bien un ensemble (axiome de compréhension + axiomes des parties )
Je n'ai rien à ajouter aux réponses de Thorin et Ksilver, sauf qu'il y avait d'autres questions à se poser, par exemple :
1) La relation d'équivalence est-elle bien définie ? Ce point est évidemment nécessaire, et pas immédiat si on a en tête que "sauf un nombre fini" n'est pas une notion facile à exprimer, mais ici avec des suites, donc des fonctions de IN dans IR, c'est très facile, il suffit de dire qu'il existe N tel que pour tout n > N ==> Un = Vn.
2) La fonction qui a une des 100 suites associe un N qui va bien,(cf. ci-dessus) existe-t-elle ? Il suffit de prendre le plus petit des N précédents qui marchent pour le couple (Ui, f(Ui)) avec f la fonction de choix (trivial à écrire). Si on ne prenait pas le plus petit, le résultat ne serait pas dégradés, mais ainsi on a une belle fonction.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Maintenant que les problèmes techniques sont réglés, il me semble, on peut aborder un autre aspect (ce qui n’interdit pas de revenir sur des points techniques) de cette « énigme », celui que j’ai signalé dans le deuxième message et qui a été repris ensuite par Thorin:
En tant que formaliste, je pourrais répondre que le fait que l’axiome du choix ne me soit pas intuitif dans toutes ses formes et conséquences n’a aucune importance, il a fait la preuve de son utilité (démontrer que tous les espaces vectoriels ont une base par exemple), et que cet utilité le justifie pleinement. Mais en disant cela j’aurais la certitude de ne pas convaincre un platonicien (j’ai même vu quelques haussements d’épaule irrités), je préfère donc apporter d’autres éléments (à différents niveaux, comme les différentes pelures d’un oignon) :
1) AC a déjà montré son aspect non intuitif (cf. Jerry Bona), voire contre-intuitif (paradoxe de Banach-Tarski), le « petit » résultat précédent, ne le rend pas vraiment moins intuitif.
2) ZF possède des axiomes dont la nécessité n’est pas très intuitive, par exemple le schéma de remplacement ou celui de compréhension (ce qu’ils garantissent est intuitif, mais pourquoi ils sont nécessaires l’est moins), qui permet d’éviter des paradoxes liés à l’ensemble de tous les ensembles, dont il est guère intuitif qu’il ne doive pas exister, au point que les schémas ci-dessus peuvent ressembler à un petit arrangement entre amis.
3) Dès que l’on touche à l’infini, nous savons bien que l’intuition est mise à mal, c’est pourtant une notion très utilisée (« les nombres entier pairs ne sont pas moins nombreux que les nombres entiers » est une idée qui n’est pas intuitive pour tout le monde).
Autrement dit, dans la théorie des ensembles, et plus généralement dès que l’on manipule l’infini, l’écart avec l’intuition est chose courante, mais on s’y habitue, notre intuition évolue au fur et à mesure que l’on manipule ces données (cf. la remarque de Thorin pour qui il me semble qu’au moins les axiomes de ZF sont intuitifs, ce qui n’est certainement pas le cas de tout le monde).
Ma position personnelle (et sans lien avec ma position formaliste) est que cette « énigme » ne justifie pas vraiment la condamnation de l’axiome du choix, ou alors c’est ZF qu’il faut condamner, voire toutes mathématiques non finitistes.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Si je peux me permettre mon point de vue néophyte sur le sujet afin d'exprimer le regard de Candide.
Ce n'est pas tant l'axiome du choix qui me donne un ressentie de non intuitif/contre-intuitif, mais certaines de ces conséquences logiques. Comment un axiome qui juste en affirmant l'existence d'objets (et donc paraît artificiel) puisse conduire à de telles conséquences logiques ? Est-ce une du à son utilisation combinait aux autres axiomes ?
Patrick
Pas de problème.
J'ai du mal à faire la différence (mais j'avoue que mon formalisme peut jouer un rôle ici), pour moi un axiome seul ne veut pas dire grand chose, ce qui est intéressant ce sont les théories, généralement constituées de plusieurs axiomes (je sais que toute théorie finiment axiomatisable peut s'axiomatiser avec un seul axiome, mais ce que je veux dire devrait être clair), et leurs conséquences logiques.
Pourquoi cet axiome qui affirme l'existence d'une fonction, c'est à dire d'un élément, vous paraît artificiel, alors que je suis pratiquement sur que l'axiome qui assure l'existence d'un élément neutre dans un groupe ne vous paraît pas artificiel ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Sûrement du au fait d'être plus familiarisé donc on ne se pose plus de question à son sujet.
Patrick
C'est exactement l'idée que je voulais transmettre en disant que notre intuition évolue avec l'usage.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ai envie de dire (pour répondre à ù100fil) que si l'on devait virer tous les axiomes permettant d'affirmer l'existence d'objets, parce qu'ils paraissent artificiels, il ne resterait plus énormément d'objets à manipuler
Sur le reste, personnellement, l'axiome du choix ne me pose aucun problème ; je ne fais pas des maths pour essayer de trouver des résultats paraissant vrais à mon intuition, mais juste pour le plaisir de manipuler d'étranges concepts abstraits ; à partir de ce moment, je n'aurais aucun problème, et même un certain plaisir, à essayer de faire des maths avec une théorie fondée uniquement sur des axiomes parfaitement contre intuitif, des axiomes "faux", quoi
Comme l'ont fait Bolyai, Lobatchevski et Riemann ...je n'aurais aucun problème, et même un certain plaisir, à essayer de faire des maths avec une théorie fondée uniquement sur des axiomes parfaitement contre intuitif, des axiomes "faux", quoi
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Je pense que c'est un peu méconnaitre la position des intuitifs que de considérer que dans leur optique, un axiome contre intuitif est "faux". Ou alors il faut faire attention de préciser le sens de "faux" pour un intuitif. En effet même pour un intuitif, je pense, que l'on peut considérer que "faux" en parlant d'un axiome reste plus ou moins synonyme d'un axiome qui aboutit à une théorie contradictoire. La question est donc que signifie "faux" dans ce cadre ? Mon idée est que ca se situe plus dans l'énonciation des résultats mathématiques, plus comme quelque chose qu'il n'est pas possible d'exprimer autrement qu'en terme formel en utilisant exclusivement le langage formel mathématique.
Dernière modification par invite7863222222222 ; 23/08/2010 à 14h05.
comment est venu historiquement cet axiome du choix?
Zermelo est à l'origine de cet axiome ; le but était de démontrer que tous les ensembles ont un cardinal, c'est à dire un (plus petit) ordinal, donc soit bien ordonnable (ce qui est une formulation équivalente de AC)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Quel signifie la citation de Jerry Bona ?
Patrick
Que l'axiome du choix n'est pas très intuitif, puisqu'il cite trois formulations équivalentes dont l'une serait "vraie", une autre "fausse", et une autre "indécidable" du point de vue du platonicien (et donc indécidable doit ici être pris dans le sens "on ne sait pas", ce qui est la pire intérprétation du mot indécidable), c'est donc parfaitement ironique.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
bonsoir à tous
je (mon intuition) ne suis pas convaincu qu'il y ait effectivement une chance sur 100 que notre 100ème suite soit celle qui ait le N_i maximal.
je vais essayer de m'expliquer :
connaissant notre fonction de choix f, il existe une fonction h_f de l'ensemble des suites réelles dans IN, qui pour toute suite u indique à partir de quel entier
la suite f(u) est égale u
je crois que espérance de h_f (toutes les suites étant équiprobables ...) n'existe pas, ou vaut + l'infini.
donc, une fois qu'on connait les 99 premières suites et donc h_f(u_1), h_f(u_2) ... h_f(u_99), et N_i le max des h_f(u_i), i compris entre 1 et 99,
la probabilité que h_f(u_100) > N_i vaut aussi + l'infini
et donc les chances de dire vrai quand on stipule que << h_f(u_100) n'est pas le max des h_f(u_i) >> sont nulles
désolé pour la probabilité + l'infini, j'ai mélangé avec l'espérance, cette probabilité vaudrait 1 bien sur ...
Et non, il y a 100 suites dont une (au plus) a un Ni qui est maximal parmi les 100, il y a bien 99 chance sur cent que cette suite soit dans les 99 connues (et donc la dernière à un Ni inférieur et on gagne)et une seule chance pour que ce soit la suite inconnue (et on perd).
S'il y a plusieurs suites qui ont le même Ni, alors c'est encore plus simple : on gagne à tous les coups.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je me disais que c'était vrai seulement avant de connaître les 99 suites, une fois connues on se retrouverait dans la situation dont j'ai parlé, la 100ème étant supposée indépendante des 99 premières
je le reformule autrement : notre estimateur du "max des h_f(u_i)" serait biaisé et devrait plutôt valoir + l'inifini
Si 100 personnes font le test indépendamment les unes des autres, mais chacun choisissant une suite différente (j'ai bien pris soin, dès le début de préciser ce que voulait dire 99/100), vous ne croyez pas qu'un seul des 100 aura la malchance de tomber sur le Ni maximal, et donc qu'un seul perdra ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ce n'est pas un estimateur, c'est la plus grande valeur parmi 99, qui a 99/100 chance d'être le max parmi les 100. Cette partie ne nécessite ni axiome du choix, ni même l'infini.
Si vous avez 100 boîtes devant vous et que l'on vous donne le droit d'en ouvrir 99, et d'anoncer un max pour la 100ième, il vous suffit de prendre le max des 99 ouvertes pour avoir 99 chances sur 100 de gagner !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
acx01b :
la 1% de chance ne fait pas référence à un tirage au sort sur l'ensemble de suite ! (tu notera au passage que tirer au hasard une suite avec "toutes les suite equiprobable" n'as absoluement aucun sens !! on ne sait même pas donner un sens à tirer au sort un nombre réel avec tout les réel equiprobable ! )
on considère 100 suites quelconques et on applique la méthode expliqué pour chacune de ses 100 suites alors on sait que celle ci n'échouera que pour (au plus*) une seul des suites : celle qui à le "h_f" maximal.
désolé si je vous embête ...
je ne suis pas tout à fait d'accord, si on a 100 pièces (pile/face, 0 ou 1) dans 100 boites, on connait la distribution de probabilité qu'une pièce soit sur pile (0) ou face (1) : c'est 1/2, 1/2
on en ouvre 99 :
- 45 sont sur face 44 sur pile, on annonce avec 100% de chance de gagner que le max est 1
- 0 sont sur face 99 sur pile, on annonce pile (0) ou face (1), c'est équiprobable
tout dépend à mon sens de la distribution de probabilité de la v.a. dont on cherche à déterminer le max empirique (qui est une v.a également)
Ba justement ca ne depend pas de la variable aléatoire !
il est très facile de prouver que si on a 100 variables aléatoire toute de même loi et indépendante, la probabilité que la numéro i soit strictement supérieur à toutes les autres est toujours <= 0,01 et ce quelque soit la loi des variables aléatoire.
là ou cette argument est discutable, est que les h_f ne sont pas des variables aléaoitre : d'une part il faudrait choisir une mesure de proba sur l'ensemble des suites, mais admetons qu'on le fasse il y a alors fort à parier que cette variable soit non mesurable et donc que parlé de son espérance ou de calculer des proba dessus n'est absoluement aucun sens.
c'est pour cela que nous avons parlé de proba dans un cadre précis et jammais vis à vis d'un tirage au sort sur l'ensemble des suites. tu devrai relire les pages précedente à ce sujet.
