Equations différentielles et géométrie
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Equations différentielles et géométrie



  1. #1
    invite926cc837

    Equations différentielles et géométrie


    ------

    Bonjour à tous,

    Après de longues réflexions je bloque toujours sur un exercice, le voici:

    Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,i,j).

    1) Il s'agissait ici de rappeler la forme d'une équation cartésienne de la tangente en un point donné, rien de bien compliqué.

    2) Trouver une courbe du plan passant par le point de coordonnées (1;1) telle qu'en tout point M de cette courbe, la tangente ait un coefficient directeur proportionnel au carré de l'ordonnée de M.

    J'ai commencé par traduire mathématiquement l'énoncé:

    et avec k une constante dans .

    Le fait qu'il ne soit demandé qu'une seule courbe signifie qu'il en existe une infinité car k est variable. J'ai donc choisi d'aborder le problème en prenant k=1.

    Ainsi, j'ai pu trouver le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f en différentes ordonnées, par exemple pour f(x)=2, f'(x)=4 et pour f(x)=3, f'(x)=9 etc...

    Et après... Impossible de trouver mon chemin ! Comment trouver une représentation de la courbe ainsi qu'une expression de la fonction f ?

    Merci beaucoup !

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Equations différentielles et géométrie

    Comme n'est pas nul, il existe un intervalle , contenant 1, sur lequel , continue puisque dérivable, ne s'annule pas.

    Sur cet intervalle on a , et un calcul de primitive, compte-tenu de la valeur de , conduit à , d'où , et les courbes obtenues sont des branches d'hyperboles.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    invite926cc837

    Re : Equations différentielles et géométrie

    Je comprends bien d'où sort le , mais d'où vient le ?

  4. #4
    God's Breath

    Re : Equations différentielles et géométrie

    C'est une primitive de la constante k...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite926cc837

    Re : Equations différentielles et géométrie

    Oui, mais pourquoi associer à k les termes (x-1)-1, et pas seulement x ?

  7. #6
    God's Breath

    Re : Equations différentielles et géométrie

    Il faut calculer précisément la constante d'intégration pour satisfaire la condition f(1)=1...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    invite926cc837

    Re : Equations différentielles et géométrie

    Je n'avais pas bien regardé, autant pour moi !

    Merci beaucoup en tout cas !

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