TS DM équations différentielles

[JoOoO]

Bonjour, alors voilà j'ai un devoir maison à faire et je suis bloqué à la première question...

On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
On pose t=0 en 1980 et on sait que f(0) = 0,01.
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle:
(E1): y'=0,022y(20-y).

1) On pose u = 1/f
Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution de l'équation différentielle: (E2): y'=-0,44y + 0,022.

Dans quel sens je dois faire la démonstration?
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[invite0022ecae]

bonjour,

on part de l'hypothèse: f est solution de (E1)
alors f '(x)=0,022f(x)(20-f(x)).
Or f(x)=1/u(x) dc f '(x)= -u'(x)/(u(x))²
donc

-u'(x)/(u(x))²=(0,022/u(x)) facteur de(20-1/u(x))
tu multiplie les deux membres par - (u(x))² et tu conclus

[JoOoO]

tu multiplie les deux membres par - (u(x))2 et tu conclus

Euh je ne comprends pas

[invite0022ecae]

si tu multiplie à gauche par - (u(x))2 , il reste u'(x)
si tu multiplie à droite par - (u(x))2 , il reste -0,022u(x)(20-1/u(x))
tu obtiens donc u'(x)= -0,022u(x)(20-1/u(x))
tu développe à droite et tu prouves alors que u est solution de E2

[A voir en vidéo sur Futura]

[JoOoO]

ah d'accord merci! et maintenant je dois faire la réciproque en partant du principe que u est solution de E2?

[JoOoO]

En fait ce que je ne comprenais pas c'est pourquoi (20-1/u(x)) n'est pas multiplié -(u(x))²

[JoOoO]

2) Résoudre l'équation E2 et en déduire lensemble des solution de l'équation E1.

(E2): y'=-0,44y + 0,022
Les solution sont donc les fonction définies sur R par g(t) = Ce^-0,44t + 0,05 avec C = constante.

Les solutions de E1 sont f(t) = -0,04e^-0,44t + 0,05

est-ce bon?

[invite0022ecae]

d'ou vient le 0,05 dans l'expression de g ?

[JoOoO]

-0.022 / -0.44

[JoOoO]

je suis perdu.. la 3ème question est: Démontrer alors que la fonction f est définie sur [0;+inf[ par: f(t) = 20/(1+1999e^-0.44t)
je pense que pour arriver à cela il faut s'aider de la solution de E1... mais je ne vois aucun rapport entre ces termes.

[invite0022ecae]

tu t'es trompé dans l'expression de f dans la question 2)
g(t) = Ce^-0,44t + 0,05 OK
donc f(t)= 1/(Ce^-0,44t + 0,05) (réponse à la question 2)

3) comme f(0)=0,01, on trouve C=99,95
on obtient

f(t)= 1/(99,95e^-0,44t + 0,05) en multipliant numérateur et dénominateur par 20 , on trouve l'expression de f que tu donnes

[JoOoO]

merci beaucoup pour m'avoir aidé!