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TS DM équations différentielles



  1. #1
    JoOoO

    TS DM équations différentielles

    Bonjour, alors voilà j'ai un devoir maison à faire et je suis bloqué à la première question...

    On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
    On pose t=0 en 1980 et on sait que f(0) = 0,01.
    Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle:
    (E1): y'=0,022y(20-y).

    1) On pose u = 1/f
    Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution de l'équation différentielle: (E2): y'=-0,44y + 0,022.

    Dans quel sens je dois faire la démonstration?

    -----


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  3. #2
    afolab

    Re : TS DM équations différentielles

    bonjour,

    on part de l'hypothèse: f est solution de (E1)
    alors f '(x)=0,022f(x)(20-f(x)).
    Or f(x)=1/u(x) dc f '(x)= -u'(x)/(u(x))2
    donc

    -u'(x)/(u(x))2=(0,022/u(x)) facteur de(20-1/u(x))
    tu multiplie les deux membres par - (u(x))2 et tu conclus

  4. #3
    JoOoO

    Re : TS DM équations différentielles

    tu multiplie les deux membres par - (u(x))2 et tu conclus

    Euh je ne comprends pas

  5. #4
    afolab

    Re : TS DM équations différentielles

    si tu multiplie à gauche par - (u(x))2 , il reste u'(x)
    si tu multiplie à droite par - (u(x))2 , il reste -0,022u(x)(20-1/u(x))
    tu obtiens donc u'(x)= -0,022u(x)(20-1/u(x))
    tu développe à droite et tu prouves alors que u est solution de E2

  6. #5
    JoOoO

    Re : TS DM équations différentielles

    ah d'accord merci! et maintenant je dois faire la réciproque en partant du principe que u est solution de E2?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    JoOoO

    Re : TS DM équations différentielles

    En fait ce que je ne comprenais pas c'est pourquoi (20-1/u(x)) n'est pas multiplié -(u(x))²

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  10. #7
    JoOoO

    Re : TS DM équations différentielles

    2) Résoudre l'équation E2 et en déduire lensemble des solution de l'équation E1.

    (E2): y'=-0,44y + 0,022
    Les solution sont donc les fonction définies sur R par g(t) = Ce^-0,44t + 0,05 avec C = constante.

    Les solutions de E1 sont f(t) = -0,04e^-0,44t + 0,05

    est-ce bon?

  11. #8
    afolab

    Re : TS DM équations différentielles

    d'ou vient le 0,05 dans l'expression de g ?

  12. #9
    JoOoO

    Re : TS DM équations différentielles

    -0.022 / -0.44

  13. #10
    JoOoO

    Re : TS DM équations différentielles

    je suis perdu.. la 3ème question est: Démontrer alors que la fonction f est définie sur [0;+inf[ par: f(t) = 20/(1+1999e^-0.44t)
    je pense que pour arriver à cela il faut s'aider de la solution de E1... mais je ne vois aucun rapport entre ces termes.

  14. #11
    afolab

    Re : TS DM équations différentielles

    tu t'es trompé dans l'expression de f dans la question 2)
    g(t) = Ce^-0,44t + 0,05 OK
    donc f(t)= 1/(Ce^-0,44t + 0,05) (réponse à la question 2)

    3) comme f(0)=0,01, on trouve C=99,95
    on obtient

    f(t)= 1/(99,95e^-0,44t + 0,05) en multipliant numérateur et dénominateur par 20 , on trouve l'expression de f que tu donnes

  15. #12
    JoOoO

    Re : TS DM équations différentielles

    merci beaucoup pour m'avoir aidé!

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