Equations différentielles

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

Je suis en TS et j'ai plusieurs questions à vous poser sur les équations différentielles.
Je voudrais d'abord savoir s'il est possible de résoudre une équation de la forme : sur où A et B sont deux constantes réelles. Plus généralement sait-on résoudre les équations de la forme ?
J'avais pensé à un changement de variable, mais je ne vois pas trop lequel faire. S'il n'y avait pas eut le B j'avais une solution mais ce B me pose problème, et comme l'équation n'est pas linéaire, on ne peut pas déterminer les solutions de cette équation en ayant une solution particulière et les solutions générales de l'équation sans seconde membre (encore aurait-il fallu trouver une solution particulière de l'équation avec second membre).
J'avais pensé à une autre solution pour résoudre ca mais c'est vraiment tiré par les cheveux et compliqué, puis au final ce n'est pas très parlant.
Je pense donc que ca doit pouvoir se faire de manière plus simple. Pouvez vous m'éclairer ?

Merci d'avance.
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[invitea3eb043e]

Effectivement le coup de l'équation sans second membre ça ne marche pas ici mais en fait cette équation se sépare. Je te laisse montrer qu'avec un changement de variable simple du genre Y = C y et X = D x on arrive toujours à se ramener à :
dY/dX = 1 - Y² ou bien à :
dY/dX = 1 + Y²
Et alors ça s'intègre facilement moyennant un argument tangente hyperbolique ou un arc tangente en prenant la primitive de 1/(1-Y²) ou bien de 1/(1+Y²).
Si la puissance ne vaut pas 1 ou 2 alors ça se corse. Voir par exemple :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
et ça fait appel à des fonctions pas sympathiques du tout.

[invitea250c65c]

Bonjour et merci pour ta réponse,

Effectivement le coup de l'équation sans second membre ça ne marche pas ici mais en fait cette équation se sépare. Je te laisse montrer qu'avec un changement de variable simple du genre Y = C y et X = D x on arrive toujours à se ramener à :
dY/dX = 1 - Y² ou bien à :
dY/dX = 1 + Y²
Et alors ça s'intègre facilement moyennant un argument tangente hyperbolique ou un arc tangente en prenant la primitive de 1/(1-Y²) ou bien de 1/(1+Y²).
Si la puissance ne vaut pas 1 ou 2 alors ça se corse. Voir par exemple :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
et ça fait appel à des fonctions pas sympathiques du tout.

Euh je ne vois pas trop ce que tu veux dire, pourrais tu me montrer comment faire si tu as le temps, au moins juste le début.

Merci d'avance.

[invite8d322e93]

Bonjour,

Il s'agit d'une équation différentielle non linéaire, et ce n'est donc pas au programme de TS.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea250c65c]

Bonjour,

Oui je sais mais j'ai rencontré cette équation dans un problème en rapport avec la physique et c'est une occasion pour anticiper un peu sur les maths des années à venir.
D'après ce qu'a dit Jeanpaul, ca reste cependant abordable en TS (a part les histoires de tangentes hyperboliques mais c'est pas grave, déjà si j'arrive aux primitives des fonctions solutions ca me conviendra).

[invite8d322e93]

Ah, OK.

Pour les fonctions dont il parlait, ce sont deux fonctions classiques permettant d'intégrer des fonctions rationnelles.

arctan est la réciproque de tangente, et pour tout x dans -pi/2, pi/2 arctan(tanx)=x.

arctan(x)=1/(1+x²) ce qui est souvent assez pratique.

argth est la fonction réciproque de la tangente hyperbolique ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique ) et argth'(x)=1/(1-x²)

A+

[Flyingsquirrel]

Dans le message de QuentinLAT lire "Arctan'(x)=1/(1+x²)". (le prime s'est envolé )

[invitea3eb043e]

Bonjour et merci pour ta réponse,



Euh je ne vois pas trop ce que tu veux dire, pourrais tu me montrer comment faire si tu as le temps, au moins juste le début.

Merci d'avance.

Prends l'exemple de (dY/dX)/(1 + Y²). On reconnaît là exactement la dérivée de Arctan(Y) selon ce qui vient d'être dit. Comme cette dérivée vaut 1 c'est que Arctan(Y) vaut X + C
Bien sûr, si tu ne connais pas encore l'arc tangente, tu as un problème.