[TS+] Equations différentielles

[mx6]

Bonsoir,
Je me bloque sur un exercice qui prépare à l'entrée en prépas. Il est difficile je trouve..

Voici l'énoncé :

On veut déterminer l'ensemble de toutes les fonctions dérivables deux fois et telles que, quels que soient les nombres réels et .

On va pour cela raisonner par analyse et synthèse.
Analyse du problème : On considère la fonction appartenant à .
a) L'équation est vérifiée quls que soient les réels et . En choisissant des valeurs particulières de et/ou , montrer que puis que la fonction est paire.
b) On fixe pour cette question un réel . Soit la fonction définie par . Montrer que cette fonction est dérivable. En calculant de deux manières sa dérivée, montrer que, pour tout réel :

c) Après s'être convaincu que l'égalité est vérifiée quels que soient les réels et , on fixe cette fois ci le réel . Soit définie par . Montrer que cette fonction est dérivable, et calculer de deux manière sa dérivée. En déduire une troisième égalité .
d) Se convaincre que l'égalité est vérifiée quels que soient les réels et . En déduire que la fonction dérivée seconde est constante sur .
e) Déduire des question d) et a) qu'il existe un nombre réel , tel que, pour tout nombre réel :

Synthèse: On fixe maintenant un réel , et on considère la fonction définie par . Montrer que cette fonction appartient à l'ensemble . Conclure.

Mes réponses prochain post !
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Pour la première question :
-Montrons que :
On pose alors on remplaçant , on trouve soit .

Après je galère !

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J'ai trouvé comment montrer la parité !
Posons ,
alors soit !!

Pour la question suivante, je n'ai su calculer la dérivée que d'une manière, c'est quoi l'autre ?


, car étant fixé.

[God's Breath]

Bonsoir,

La relation (*) te permet de trouver une expression particulièrement simple de ...

[A voir en vidéo sur Futura]

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En effet, j'y avais pas pensé....
On trouve , donc quoi au niveau de la dérivée ? Je ne trouve pas l'égalité demandée

[God's Breath]

On trouve , donc

et l'égalité demandée en comparant avec la première expression obtenue pour .

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Oui, j'avais remarqué que car c'est une constante, mais je ne trouve pas l'égalité demandée, j'obtient :
il doit y avoir un - normalement....

[God's Breath]

Au temps pour moi, c'est cette formule :

qui est fausse. Tu as oublié la dérivée de en dérivant la fonction composée .

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Ah oui !!!!! ^^ J'attaque les prochaines questions dans 10min!

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God's Breath, peux tu confirmé l'égalité : . J'espère que c'est bien ca !

Pour le après s'être convaincu que c'est vrai pour tout x et y ? Je fais comment, car dans les cas, j'avais soit x de fixé ou y !

[God's Breath]

:

Oui, c'est bien ça.

j'avais soit x de fixé ou y !

Tu fixes ou suivant le cas, mais tu n'as aucune contrainte sur leur valeur, le résultat est donc vraie pour toute valeur à laquelle tu fixes ou , donc pour tout et tout .

[mx6]

Oki, merci, je vais essaye de continuer l'exercice, sinon y a erreur dans l'énoncé, c'est bien

[mx6]

Alors pour la question d) c'est une conséquence directe, on a si de plus donc . C'est tellement évident, que je ne sais pas comment rédiger !

Pour la question e) ; on a et paire. Tout les fonctions de type où pair, répondent à ces contraintes. Mais encore, n'est dérivable que deux fois, donc toute fonction de ce type avec sont réfutés. Il nous reste donc par élimination .

Est ce bon jusque là ?

[God's Breath]

sinon y a erreur dans l'énoncé, c'est bien

Effectivement

Alors pour la question d) c'est une conséquence directe, on a si de plus donc . C'est tellement évident, que je ne sais pas comment rédiger !

Attention !! On a si .
Il serait plus intéressant de se donner quelconque, puis de déterminer et tels que soit en fait , ce qui prouve que est constante.

Pour la question e) ; on a et paire. Tout les fonctions de type où pair, répondent à ces contraintes. Mais encore, n'est dérivable que deux fois, donc toute fonction de ce type avec sont réfutés. Il nous reste donc par élimination .

Est ce bon jusque là ?

Pourquoi se limiter aux fonctions ? Tu pourrais aussi bien envisager ou autre chose de pair avec .

D'autre part, est indéfiniment dérivable, et ce quel que soit : ton argument est irrecevable.

En fait, si est constante, de valeur , peux-tu donner une expression de ? une expression de ?

[mx6]

Pour la question d) , si et alors pour tout réels. De plus sont des réels variables, donc ils peuvent décrire , donc avec une constante sur . J'aimerai bien avoir une bonne rédaction, pour cette question, j'ai l'idée mais les mots ne sortent pas!

Pour la e), si cela implique que et vu que est une constante, qu'on peut varier, donc , or soit , de plus la fonction est paire, donc .

Voila

[invitea0ece8ff]

Pour la question d) , si et alors pour tout réels. De plus sont des réels variables, donc ils peuvent décrire , donc avec une constante sur . J'aimerai bien avoir une bonne rédaction, pour cette question, j'ai l'idée mais les mots ne sortent pas!

Pour la e), si cela implique que et vu que est une constante, qu'on peut varier, donc , or soit , de plus la fonction est paire, donc .

Voila

salut

a=a'+2y
f(a')=f(a)=f(a'+2y)
avec a'=0
f(0)=f(2y)
quelque soit y.

[mx6]

Oui Dionisos bravo , bon je crois que l'exercice est résolu, sauf il me reste une ambiguité au niveau de la synthèse, comment prouver que E est l'ensemble des fonctions f ? J'ai prouvé que f appartient à E, mais comment démontrer l'unicité ?

[invitea0ece8ff]

Oui Dionisos bravo , bon je crois que l'exercice est résolu, sauf il me reste une ambiguité au niveau de la synthèse, comment prouver que E est l'ensemble des fonctions f ? J'ai prouvé que f appartient à E, mais comment démontrer l'unicité ?

Seul les fonction du type: f'(x)=kx+g(x) tel que g(x)=const
respecte la condition: f''(x)=k

Car si g(x) variai a un endroit, alors il existerai un a tel que g'(a)!=0.

Je sait pas trop comment expliquer autrement.

[mx6]

Dans mon raisonnement, de la question e) j'ai écris la même chose que ton dernier post.

[invitea0ece8ff]

Oui Dionisos bravo , bon je crois que l'exercice est résolu, sauf il me reste une ambiguité au niveau de la synthèse, comment prouver que E est l'ensemble des fonctions f ? J'ai prouvé que f appartient à E, mais comment démontrer l'unicité ?

A={f|f(x)=k*x^2}

f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)
f€A => f€E
E€A

f(x+y)+.... => f(0)=0 et ... et ... => f(x)=k*x^2 (ce sens la, le plus dur, tu la déjà fait)
f€E => f€A
A€E

A=E

Désolé c'est un peut mal présenté, j'te laisse le soin de faire un truc mieu que sa .

[mx6]

Oui j'ai capté l'idée, j'avais jamais traité des questions comme ça de toute ma vie mais je ne suis pas d'accord avec ca :
f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)
f€A => f€E
E€A

En effet, si A détermine l'ensemble des fonctions x->Ax², alors A appartient à E et non le contraire ! Car, A vérifie E, ce qui est différent. Peut être je me trompe !^^

[invitea0ece8ff]

Oui j'ai capté l'idée, j'avais jamais traité des questions comme ça de toute ma vie mais je ne suis pas d'accord avec ca :
f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)
f€A => f€E
E€A

En effet, si A détermine l'ensemble des fonctions x->Ax², alors A appartient à E et non le contraire ! Car, A vérifie E, ce qui est différent. Peut être je me trompe !^^

Non, ta raison, j'suis aller un peut vite et j'me suis planté.
En remplacant E€A et A€E tout rentre dans l'ordre (enfin avec de la chance ^^).

[mx6]

Ouai Je crois que c'est bon, on verra demain avec God's Breath =)

[God's Breath]

f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)

Oui, une synthèse n'est que la vérification du résultat obtenu par l'analyse, résultat qui pourrait être « trop large » (l'inclusion serait stricte) si l'analyse du problème n'était pas assez serrée.

[mx6]

Merci pour votre aide !