Bonsoir,
Je me bloque sur un exercice qui prépare à l'entrée en prépas. Il est difficile je trouve..
Voici l'énoncé :
On veut déterminer l'ensemble de toutes les fonctions dérivables deux fois et telles que, quels que soient les nombres réels et .
On va pour cela raisonner par analyse et synthèse.
Analyse du problème : On considère la fonction appartenant à .
a) L'équation est vérifiée quls que soient les réels et . En choisissant des valeurs particulières de et/ou , montrer que puis que la fonction est paire.
b) On fixe pour cette question un réel . Soit la fonction définie par . Montrer que cette fonction est dérivable. En calculant de deux manières sa dérivée, montrer que, pour tout réel :
c) Après s'être convaincu que l'égalité est vérifiée quels que soient les réels et , on fixe cette fois ci le réel . Soit définie par . Montrer que cette fonction est dérivable, et calculer de deux manière sa dérivée. En déduire une troisième égalité .
d) Se convaincre que l'égalité est vérifiée quels que soient les réels et . En déduire que la fonction dérivée seconde est constante sur .
e) Déduire des question d) et a) qu'il existe un nombre réel , tel que, pour tout nombre réel :
Synthèse: On fixe maintenant un réel , et on considère la fonction définie par . Montrer que cette fonction appartient à l'ensemble . Conclure.
Mes réponses prochain post !
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