Bonsoir,
Je me bloque sur un exercice qui prépare à l'entrée en prépas. Il est difficile je trouve..
Voici l'énoncé :
On veut déterminer l'ensemblede toutes les fonctions
dérivables deux fois et telles que, quels que soient les nombres réels
et
.
On va pour cela raisonner par analyse et synthèse.
Analyse du problème : On considère la fonctionappartenant à
.
a) L'équationest vérifiée quls que soient les réels
et
. En choisissant des valeurs particulières de
et/ou
, montrer que
puis que la fonction est paire.
b) On fixe pour cette question un réel. Soit
la fonction définie par
. Montrer que cette fonction est dérivable. En calculant de deux manières sa dérivée, montrer que, pour tout réel
:
c) Après s'être convaincu que l'égalitéest vérifiée quels que soient les réels
et
, on fixe cette fois ci le réel
. Soit
définie par
. Montrer que cette fonction est dérivable, et calculer de deux manière sa dérivée. En déduire une troisième égalité
.
d) Se convaincre que l'égalitéest vérifiée quels que soient les réels
et
. En déduire que la fonction dérivée seconde
est constante sur
.
e) Déduire des question d) et a) qu'il existe un nombre réel, tel que, pour tout nombre réel
:
Synthèse: On fixe maintenant un réel, et on considère la fonction
définie par
. Montrer que cette fonction appartient à l'ensemble
. Conclure.
Mes réponses prochain post !
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