[TS+] Equations différentielles
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 25 sur 25

[TS+] Equations différentielles



  1. #1
    invite9a322bed

    [TS+] Equations différentielles


    ------

    Bonsoir,
    Je me bloque sur un exercice qui prépare à l'entrée en prépas. Il est difficile je trouve..

    Voici l'énoncé :

    On veut déterminer l'ensemble de toutes les fonctions dérivables deux fois et telles que, quels que soient les nombres réels et .

    On va pour cela raisonner par analyse et synthèse.
    Analyse du problème : On considère la fonction appartenant à .
    a) L'équation est vérifiée quls que soient les réels et . En choisissant des valeurs particulières de et/ou , montrer que puis que la fonction est paire.
    b) On fixe pour cette question un réel . Soit la fonction définie par . Montrer que cette fonction est dérivable. En calculant de deux manières sa dérivée, montrer que, pour tout réel :
    c) Après s'être convaincu que l'égalité est vérifiée quels que soient les réels et , on fixe cette fois ci le réel . Soit définie par . Montrer que cette fonction est dérivable, et calculer de deux manière sa dérivée. En déduire une troisième égalité .
    d) Se convaincre que l'égalité est vérifiée quels que soient les réels et . En déduire que la fonction dérivée seconde est constante sur .
    e) Déduire des question d) et a) qu'il existe un nombre réel , tel que, pour tout nombre réel :
    Synthèse: On fixe maintenant un réel , et on considère la fonction définie par . Montrer que cette fonction appartient à l'ensemble . Conclure.

    Mes réponses prochain post !

    -----

  2. #2
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Pour la première question :
    -Montrons que :
    On pose alors on remplaçant , on trouve soit .

    Après je galère !

  3. #3
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    J'ai trouvé comment montrer la parité !
    Posons ,
    alors soit !!

    Pour la question suivante, je n'ai su calculer la dérivée que d'une manière, c'est quoi l'autre ?


    , car étant fixé.

  4. #4
    invite57a1e779

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Bonsoir,

    La relation (*) te permet de trouver une expression particulièrement simple de ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    En effet, j'y avais pas pensé....
    On trouve , donc quoi au niveau de la dérivée ? Je ne trouve pas l'égalité demandée

  7. #6
    invite57a1e779

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    On trouve , donc
    et l'égalité demandée en comparant avec la première expression obtenue pour .

  8. #7
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Oui, j'avais remarqué que car c'est une constante, mais je ne trouve pas l'égalité demandée, j'obtient :
    il doit y avoir un - normalement....

  9. #8
    invite57a1e779

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Au temps pour moi, c'est cette formule :
    qui est fausse. Tu as oublié la dérivée de en dérivant la fonction composée .

  10. #9
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Ah oui !!!!! ^^ J'attaque les prochaines questions dans 10min!

  11. #10
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    God's Breath, peux tu confirmé l'égalité : . J'espère que c'est bien ca !

    Pour le après s'être convaincu que c'est vrai pour tout x et y ? Je fais comment, car dans les cas, j'avais soit x de fixé ou y !

  12. #11
    invite57a1e779

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    :
    Oui, c'est bien ça.

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    j'avais soit x de fixé ou y !
    Tu fixes ou suivant le cas, mais tu n'as aucune contrainte sur leur valeur, le résultat est donc vraie pour toute valeur à laquelle tu fixes ou , donc pour tout et tout .

  13. #12
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Oki, merci, je vais essaye de continuer l'exercice, sinon y a erreur dans l'énoncé, c'est bien

  14. #13
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Alors pour la question d) c'est une conséquence directe, on a si de plus donc . C'est tellement évident, que je ne sais pas comment rédiger !

    Pour la question e) ; on a et paire. Tout les fonctions de type pair, répondent à ces contraintes. Mais encore, n'est dérivable que deux fois, donc toute fonction de ce type avec sont réfutés. Il nous reste donc par élimination .

    Est ce bon jusque là ?

  15. #14
    invite57a1e779

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    sinon y a erreur dans l'énoncé, c'est bien
    Effectivement

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Alors pour la question d) c'est une conséquence directe, on a si de plus donc . C'est tellement évident, que je ne sais pas comment rédiger !
    Attention !! On a si .
    Il serait plus intéressant de se donner quelconque, puis de déterminer et tels que soit en fait , ce qui prouve que est constante.

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Pour la question e) ; on a et paire. Tout les fonctions de type pair, répondent à ces contraintes. Mais encore, n'est dérivable que deux fois, donc toute fonction de ce type avec sont réfutés. Il nous reste donc par élimination .

    Est ce bon jusque là ?
    Pourquoi se limiter aux fonctions ? Tu pourrais aussi bien envisager ou autre chose de pair avec .

    D'autre part, est indéfiniment dérivable, et ce quel que soit : ton argument est irrecevable.

    En fait, si est constante, de valeur , peux-tu donner une expression de ? une expression de ?

  16. #15
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Pour la question d) , si et alors pour tout réels. De plus sont des réels variables, donc ils peuvent décrire , donc avec une constante sur . J'aimerai bien avoir une bonne rédaction, pour cette question, j'ai l'idée mais les mots ne sortent pas!

    Pour la e), si cela implique que et vu que est une constante, qu'on peut varier, donc , or soit , de plus la fonction est paire, donc .

    Voila

  17. #16
    invitea0ece8ff

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Pour la question d) , si et alors pour tout réels. De plus sont des réels variables, donc ils peuvent décrire , donc avec une constante sur . J'aimerai bien avoir une bonne rédaction, pour cette question, j'ai l'idée mais les mots ne sortent pas!

    Pour la e), si cela implique que et vu que est une constante, qu'on peut varier, donc , or soit , de plus la fonction est paire, donc .

    Voila
    salut

    a=a'+2y
    f(a')=f(a)=f(a'+2y)
    avec a'=0
    f(0)=f(2y)
    quelque soit y.

  18. #17
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Oui Dionisos bravo , bon je crois que l'exercice est résolu, sauf il me reste une ambiguité au niveau de la synthèse, comment prouver que E est l'ensemble des fonctions f ? J'ai prouvé que f appartient à E, mais comment démontrer l'unicité ?

  19. #18
    invitea0ece8ff

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Oui Dionisos bravo , bon je crois que l'exercice est résolu, sauf il me reste une ambiguité au niveau de la synthèse, comment prouver que E est l'ensemble des fonctions f ? J'ai prouvé que f appartient à E, mais comment démontrer l'unicité ?
    Seul les fonction du type: f'(x)=kx+g(x) tel que g(x)=const
    respecte la condition: f''(x)=k

    Car si g(x) variai a un endroit, alors il existerai un a tel que g'(a)!=0.

    Je sait pas trop comment expliquer autrement.

  20. #19
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Dans mon raisonnement, de la question e) j'ai écris la même chose que ton dernier post.

  21. #20
    invitea0ece8ff

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Oui Dionisos bravo , bon je crois que l'exercice est résolu, sauf il me reste une ambiguité au niveau de la synthèse, comment prouver que E est l'ensemble des fonctions f ? J'ai prouvé que f appartient à E, mais comment démontrer l'unicité ?
    A={f|f(x)=k*x^2}

    f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)
    f€A => f€E
    E€A

    f(x+y)+.... => f(0)=0 et ... et ... => f(x)=k*x^2 (ce sens la, le plus dur, tu la déjà fait)
    f€E => f€A
    A€E

    A=E

    Désolé c'est un peut mal présenté, j'te laisse le soin de faire un truc mieu que sa .

  22. #21
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Oui j'ai capté l'idée, j'avais jamais traité des questions comme ça de toute ma vie mais je ne suis pas d'accord avec ca :
    f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)
    f€A => f€E
    E€A

    En effet, si A détermine l'ensemble des fonctions x->Ax², alors A appartient à E et non le contraire ! Car, A vérifie E, ce qui est différent. Peut être je me trompe !^^

  23. #22
    invitea0ece8ff

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Oui j'ai capté l'idée, j'avais jamais traité des questions comme ça de toute ma vie mais je ne suis pas d'accord avec ca :
    f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)
    f€A => f€E
    E€A

    En effet, si A détermine l'ensemble des fonctions x->Ax², alors A appartient à E et non le contraire ! Car, A vérifie E, ce qui est différent. Peut être je me trompe !^^
    Non, ta raison, j'suis aller un peut vite et j'me suis planté.
    En remplacant E€A et A€E tout rentre dans l'ordre (enfin avec de la chance ^^).

  24. #23
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Ouai Je crois que c'est bon, on verra demain avec God's Breath =)

  25. #24
    invite57a1e779

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Citation Envoyé par dionisos Voir le message
    f(x)=k*x^2 => f(x+y)+.... (suffie de vérifié l'égalité)
    Oui, une synthèse n'est que la vérification du résultat obtenu par l'analyse, résultat qui pourrait être « trop large » (l'inclusion serait stricte) si l'analyse du problème n'était pas assez serrée.

  26. #25
    invite9a322bed

    Re : [TS+] Equations différentielles

    Merci pour votre aide !

Discussions similaires

  1. Equations differentielles
    Par inviteb05bff37 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 5
    Dernier message: 22/10/2008, 18h10
  2. TS DM équations différentielles
    Par invite4cef3816 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 11
    Dernier message: 01/10/2008, 13h24
  3. Equations différentielles !
    Par invite59e98ef2 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 09/11/2007, 19h37
  4. Equations différentielles
    Par invitea07f6506 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 28/08/2007, 12h16
  5. Equations différentielles.
    Par invitea43a5e91 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 24/12/2005, 07h47