Une utilisation surprenante de l'axiome du choix !

[invite6754323456711]

est que vous sous-entendez que l'on n'a pas démontré que ZFC est contradictoire ?

Je ne vois pas non plus ce que vous voulez dire ? Dans qu'elle théorie ?

Je crois avoir compris que la cohérence de ZFC ne peut être démontrée à l'intérieur de ZFC (selon le second théorème de Gödel)

Patrick
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[Médiat]

Je ne vois pas non plus ce que vous voulez dire ? Dans qu'elle théorie ?

Mauvaise question, une théorie est consistante ou ne l'est pas, cela n'a rien à voir avec d'autres théories, c'est la démonstration de cette consistance qui nécessite une théorie plus forte (avec les hypothèses des théorèmes de Gödel), vous confondez mathématiques et métamathématiques.
Maintenant si vous ne voulez pas expliciter vos questions, et que vous répondez à des demandes d'éclaircissement, par ce qui est, au mieux de l'ironie, je ne pourrai pas vous répondre !

[invite6754323456711]

une théorie est consistante ou ne l'est pas, cela n'a rien à voir avec d'autres théories, c'est la démonstration de cette consistance qui nécessite une théorie plus forte (avec les hypothèses des théorèmes de Gödel), vous confondez mathématiques et métamathématiques.

Vous venez de me donner la réponse donc je suppose que vous avez bien compris l'erreur dans ma première question.

Si la théorie des ensembles sans l'axiome du choix (ZF) est non contradictoire, alors la théorie avec l'axiome du choix est aussi non contradictoire.

Je suppose que l'axiome du choix (ainsi que l'hypothèse du continu) ont été démontré être des énoncés indécidables dans ZF ("ZF- ne démontre pas AC et ZF- ne démontre pas non AC)

Patrick

[Thorin]

Je ne comprends ni ce que vous voulez faire, ni en quoi cela résout le problème

Ouf ! en lisant la solution de ù100fil, j'étais complètement perdu et dégouté de pas comprendre

[Thorin]

Médiat,
étant donné que j'avance à l'aveugle, sans savoir concrètement ce que je veux obtenir, je sollicite encore votre aide

Je cherche à quoi appliquer la fonction de choix, et pour l'instant, la seule utilité que je vois a cette fonction et de pouvoir disposer d'un ensemble E de suites réelles tel que :
-pour tout suite réelle, il existe une suite appartenant à E telle que ces 2 suites aient la même fin
-2 suites distinctes appartenant à E n'ont pas la même fin

(avoir la même fin signifiant qu'il existe un entier à partir duquel les 2 suites sont égales)

Sauf qu'avec ça, je n'avance pas, et que selon toute probabilité, ça ne sert strictement à rien, et il faut m'orienter vers une autre voie

Il y a aussi le problème que je ne vois pas ce que signifie mathématiquement le fait de connaitre une suite sauf un certain nombre de termes de cette suite. En effet, puisque l'énoncé dit qu'on dispose de 100suites, alors, on s'est donné 100 suites, on a dit "soit 100suites". Mais dans ce cas, on les connait parfaitement , ces suites Du coup, je ne sais pas vraiment ce que j'ai le droit de dire de cette 100ième suite que je ne connais pas entièrement. Ai-je le droit de savoir à quelle classe d'équivalence elle appartient, par exemple ?

[invite6754323456711]

Ouf ! en lisant la solution de ù100fil, j'étais complètement perdu et dégouté de pas comprendre

Juste une erreur de symétrie ([en relisant l'énoncé : sauf un nombre fini) tout comme votre première réponse. Maintenant j'étais plus intéressé par la réponse à ma question, mais je suis toujours dans l'expectative de votre réponse pour ne pas mourir idiot.

Patrick

[Médiat]

je sollicite encore votre aide

C'est le but de ce jeu

Je cherche à quoi appliquer la fonction de choix, et pour l'instant, la seule utilité que je vois a cette fonction et de pouvoir disposer d'un ensemble E de suites réelles tel que :
-pour tout suite réelle, il existe une suite appartenant à E telle que ces 2 suites aient la même fin
-2 suites distinctes appartenant à E n'ont pas la même fin

(avoir la même fin signifiant qu'il existe un entier à partir duquel les 2 suites sont égales)

Parfaitement exact

Sauf qu'avec ça, je n'avance pas, et que selon toute probabilité, ça ne sert strictement à rien, et il faut m'orienter vers une autre voie

C'est bien la bonne voie (vous êtes à deux doigts de la solution)

Il y a aussi le problème que je ne vois pas ce que signifie mathématiquement le fait de connaitre une suite sauf un certain nombre de termes de cette suite. En effet, puisque l'énoncé dit qu'on dispose de 100suites, alors, on s'est donné 100 suites, on a dit "soit 100suites". Mais dans ce cas, on les connait parfaitement , ces suites Du coup, je ne sais pas vraiment ce que j'ai le droit de dire de cette 100ième suite que je ne connais pas entièrement. Ai-je le droit de savoir à quelle classe d'équivalence elle appartient, par exemple ?

Le "joueur", celui qui doit deviner certaines images de l'une des suites, connait entièrement 99 suites (si on lui demande que vaut l'image de n par la k^ième suite, si cette k^ième suite fait partie des suites connues, il peut répondre puisqu'il connait cette valeur ; par contre, pour l'une des suites il ne connait pas un nombre fini d'images, et on lui demande de les deviner (ce qui revient à écrire , où n'intervient pas dans les ...).
J'espère que c'est plus clair.

[Thorin]

Je ne vois pas, et c'est assez frustrant, comment conclure

[Médiat]

Je ne vois pas, et c'est assez frustrant, comment conclure

Vous savez quelque chose d'important sur chacune des 99 premières suites (en plus de chacune des images bien sur) ...

Je dis "vous savez" car vous en avez parlé dans un post précédent

[Thorin]

Je sais qu'elles doivent servir quelque part, et je sais à quelle classe d'équivalence elles appartiennent.
je continue de réfléchir

[Médiat]

Je sais qu'elles doivent servir quelque part, et je sais à quelle classe d'équivalence elles appartiennent.

Exact, et vous avez donné une précision supplémentaire (j'en ai presque trop dit )

[Thorin]

chacune d'elle a la même fin qu'une et une seule suite appartenant à "E" ?

[Médiat]

chacune d'elle a la même fin qu'une et une seule suite appartenant à "E" ?

Oui, et que veut dire "avoir même fin" ? (Là encore, vous l'avez dit).

[invite4ef352d8]

... Je viens de comprendre ! c'est en effet assez troublant, j'ai mis la solution en spoiler

NB : en effet Thorin, tu n'es vraiment pas loin de trouver tu devrais chercher encore un peu avant de regarder... il y a environ 5 minutes j'était aussi perdu que toi ^^

 Cliquez pour afficher

L'idée c'est que pour chaque suite il existe un entier "N_i" tel que pour n>N_i la ième suite est égal à un element choisit par la fonction de choix à partir du rang n. on va supposer que la suite dont on essai de deviner des termes n'est pas celle qui a le N_i maximal (parceque bon, ca serait vraiment pas de bol hein... on a que 1% de chance que ca soit le cas) à partir de la connaissant les 99 autres suites on peut calculer le max des N_i, et on peut alors prédire toute les valeur de notre suites comprise entre (N_100)+1 et un autre entier arbitrairement grand fixé juste en lisant sur la fonction donné par la fonction de choix.

[invite6754323456711]

Bonjour,

En fait cette histoire avec AC ressemble au sketch de Pierre Dac et de Francis Blanche "Oui, je peux le faire".

 Cliquez pour afficher

D’après AC , il existe donc une fonction de choix sur l’ensemble X/∼ des
classes d’équivalence de X, ce qui est équivalent à se donner une application
c : X −→ X vérifiant :
• ∀x ∈ X c(x) ∈ x ;
• x ∼ y ⇒ c(x) = c(y).

Or il semble difficile de définir une telle c de manière explicite. AC nous amène donc à affirmer l’existence d’objets dont on ne sait donner aucun exemple particulier !

On peut prendre comme exemple extrait d'un article : Soit {a, b} un alphabet de deux lettres ; notons X l’ensemble des mots infinis de cet alphabet, par exemple bbbabbaa . . .. On définit sur X une relation d’équivalence (3) ∼, où x ∼ y signifie qu’à partir d’une certaine position les mots x et y sont identiques.

Patrick

[Thorin]

L'idée la plus naturelle serait de prendre M tel que à partir de M, les 99premières suites soient égales à leur suite correspondante dans E, puis de parier que ce M marche aussi pour la 100ième : on déclare que l'entier dont on va deviner l'image est l'entier M+1, donc on dispose alors de la suite correspondante à dans E, et on dit que est égal au M+1 ième terme de la suite correspondante à ,
... depuis 6h ce matin, je me dis que cette idée est de la triche, dans le sens où si l'on se trompe, alors, ce M marchera pour toutes les autres suites, certes, mais pour trouver ce M, on a eu la connaissance parfaite des 100autres suites, donc on ne peut plus l'utiliser, il faut recommencer de ZERO !
Dans ma tête, lorsque l'on recommencera la stratégie avec une autre suite, disons la première par exemple (on suppose alors la première partiellement connue et les 99dernières parfaitement connues), on n'a absolument pas le droit de se référer, à aucun moment, à notre essai précédent, car durant notre essai précédent, on connaissait parfaitement la première suite. Or, c'est en se référant à notre essai précédent que l'on sait que notre prédiction va maintenant être bonne, me semble-t-il...

Mais en même temps, ça ne me semble pas être trop éloigné de ce qu'on voudrait...

J'ai conscience de ne pas être clair, mais en même temps, ce n'est pas non plus clair dans ma tête Ce qui est frustrant, c'est que je ne peux même pas être sûr que ce que je dis est vrai ou pas, alors que normalement, dans une démo, je SAIS si ce que je dis est juste ou erroné

[invite4ef352d8]

Tu as trouvé Thorin : parmis les 100 suites il y en a au plus une qui a un "M" strictement plus grand que tout les autres. donc tant que c'est pas celle ci dont on essai de deviner des termes la methode que tu propose marche ! ie dans 99% des cas.

[Thorin]

Il va falloir que je me casse les neurones un certain temps avant d'être convaincu que c'est une méthode honnête et qu'on ne se mord réellement pas la queue

Peut être qu'un énoncé plus formel (moins sous la forme d'un jeu, car je ne peux pas vraiment donner de sens précis à "une suite qu'on ne connait pas parfaitement" : un objet, soit on le connait, soit on le connait pas, et si on le connait, on a le droit d'utiliser directement ce qu'on sait de lui ; autrement dit, une suite, si on se la donne, on la connait, on sait a quoi chacun de ses termes est égal : chacun est égal à lui même !), même s'il est alors moins "spectaculaire", m'aiderait à voir qu'on a réellement le droit de dire ça.

[invite4ef352d8]

toujour sous forme d'un jeu mais voilà un énoncé un peu plus precis qui t'aidera peut-etre à mieux comprendre :


disons qu'on a deux joueurs (1 et 2) et que le jeu se déroule sous forme d'une suite d'étape :

1)le joueur 2 choisit 100 suites de nombres réel, sans les révéler au joueur 1.
2) le joueur 1 choisit un nombre i de 1 à 100.
3) le joueur 2 révèle toutes les suite au joueur 1 sauf la suite numéro i et choisit un entier >0 k.
4) le joueur 1 choisit k entier positif deux à deux distincts.
5) le joueur 2 révèle tout les termes de la suite numéro i sauf les k termes portant les numéro choisit par le joueur 1.
6) le joueur 1 choisit k nombre réel (ordonée)
fin) si les k nombres réel choisit par le joueur 1 coïncident avec les k terme de la suite pas encore révélé par le joueur 2 alors le joueur 1 gagne, sinon il perd.

Alors ce qu'on a démontré, c'est que (l'axiome du choix étant supposé vrai) il existe une strategie* permettant au joueur 1 de gagner avec plus de 99% de chance quelque soit la strategie du joueur 2.

* : une strategie sera ici la donné de, pour chaque fois que le joueur doit faire un choix, une fonction déterminant ce choix à partir des donné précédemment révélé et d'une variable aléatoire (qui permet de donner un sens au 99% de chance)

[Thorin]

Enoncé comme ça, ça me parait tout à fait limpide : on ne refait pas la même expérience 100fois, on dit juste qu'on avait seulement une chance sur 100de tomber sur la mauvaise suite à l'étape 3)

[invite6754323456711]

L'idée la plus naturelle serait de prendre M tel que à partir de M, les 99premières suites soient égales à leur suite correspondante dans E, puis de parier que ce M marche aussi pour la 100ième : on déclare que l'entier dont on va deviner l'image est l'entier M+1, donc on dispose alors de la suite correspondante à dans E, et on dit que est égal au M+1 ième terme de la suite correspondante à ,
... depuis 6h ce matin, je me dis que cette idée est de la triche,:

Il ne me semble pas qu'il y est triche si on précise l'énoncé en spécifiant que les 100 fonctions soient toutes différentes (ce qui n'est pas précisé dans l'énoncé) alors il existe M =/ 0 tel que les 100 suites soient équivalentes (D'après la relation d'équivalence) ....

on déclare que l'entier dont on va deviner l'image est l'entier M+1, donc on dispose alors de la suite correspondante à dans E

Patrick

[Médiat]

Or il semble difficile de définir une telle c de manière explicite. AC nous amène donc à affirmer l’existence d’objets dont on ne sait donner aucun exemple particulier !

C'est bien quand (c'est à dire pas toujours) on ne sait pas l'expliciter que l'axiome du choix est nécessaire.

[Médiat]

Enoncé comme ça, ça me parait tout à fait limpide : on ne refait pas la même expérience 100fois, on dit juste qu'on avait seulement une chance sur 100de tomber sur la mauvaise suite à l'étape 3)

En parlant de refaire 100 fois l'expérience, mon idée était de donner une idée sans aucune ambiguité de l'expression 99 chance sur 100 de réussite.

à tous les deux

[Médiat]

J'aurais pu proposer cette "énigme" sous une autre forme (plus adapté à science ludique), qui montre peut-être encore mieux le côté troublant de ce résultat (c'est bien le même énoncé, donc la même solution) :


Un méchant (Miguelito Lovelace, le Démon de Schrödinger, ou le chat de Maxwell, histoire de changer un peu) propose à 100 mathématiciens le jeu suivant :
Il a disposé dans une chambre (la chambe 42 de l'hôtel de Hilbert) une infinité dénombrable de boîtes fermées chacune contenant un nombre réel.
Chaque mathématicien sera appelé pour entrer dans la chambre, ouvrir toutes le boîtes qu'il veut sauf un nombre fini, et annoncer (au méchant exclusivement), le contenu de 100 boîtes parmi celles qu'il n'a pas ouvertes, il sortira de la chambre, les boîtes seront refermées et replacées à la même place qu'au début du jeu et le mathématicien suivant sera appelé. A partir du moment où le premier mathématicien sera appelé, toute communication entre eux est rendu impossible, par contre, avant ce moment il peuvent discuter et choisir une stratégie, et bien sur, ils ont droit à l'axiome du choix.
Si 99 mathématiciens font une prédiction juste à 100% ils sont épargnés, s'il y en a moins, ils sont tous éparpillés aux quat' coins d'Paris par petits bouts, façon Puzzle

[invite6754323456711]

En parlant de refaire 100 fois l'expérience, mon idée était de donner une idée sans aucune ambiguité de l'expression 99 chance sur 100 de réussite.

Dans cette situation, je me pose alors la même question que Thorin. On ne respecte plus cette exigence :

la question est de déterminé l'image par l'une des fonctions d'un nombre fini fixé à l'avance d'entiers, indépendament de cette valeur bien sur (sans l'utiliser) !

Patrick

[Médiat]

Dans cette situation, je me pose alors la même question que Thorin. On ne respecte plus cette exigence :

Où avez-vous lu que refaire 100 fois l'expérience voulais dire avec la même personne qui se souviendrait des expériences précédentes ?
Si c'était le cas, autant lui faire deviner une infinité d'images éventuellement en ayant connaissance d'aucune image, pas besoin de l'axiome du choix pour ça !

[Médiat]

@Thorin : Si votre message 46 n'est pas complètement éclairci, je pourrais revenir dessus.

[invite6754323456711]

Où avez-vous lu que refaire 100 fois l'expérience voulais dire avec la même personne qui se souviendrait des expériences précédentes ?
!

J'ai juste lu "sans l'utiliser" que j'ai traduit d'aucune manière que ce soit.

Patrick

[Thorin]

@Thorin : Si votre message 46 n'est pas complètement éclairci, je pourrais revenir dessus.

C'est maintenant clair ; ce qui me posait problème était que j'avais en tête que l'on était censé refaire l'expérience effectivement 100fois pour bien voir qu'on ne s'était trompé au pire qu'une fois.
Maintenant que j'ai compris qu'on ne fait l'expérience qu'une fois, et que la probabilité s'entend au sens de "une chance sur 100 de choisir l'éventuelle mauvaise suite", c'est bon

Ce problème est effectivement assez intriguant, et il est compréhensible que ce genre de résultat conduise à se demander si on doit bien inclure l'AC parmi un schéma d'axiomes censés être intuitifs.

[invité576543]

(Ce qui suit est peut-être totalement faux, si j'ai fait une grosse erreur de compréhension, ce qui est très possible.)

Il y a un point où je bloque :

Si je comprends bien, on utilise la partition de l'ensemble des suites de N -> R selon l'équivalence "nombre fini de différences".

L'axiome du choix permet de parler d'une fonction f qui associe à chaque classe un élément particulier de cette classe, i.e., qui connaissant la classe permet d'exhiber un élément particulier, toujours le même pour une même classe.

La fonction f ne permet pas d'associer directement à chaque suite l'étiquette de sa classe. Pour cela il faut aussi une fonction g qui à toute suite associe sa classe, c'est f o g appliquée à une suite qui va être utilisée.

Quels axiomes permettent de garantir l'existence de cette seconde fonction ? ("Pour toute relation d'équivalence dans un ensemble E, il existe une fonction associant un élément de E à sa classe")

Et quand bien même il y aurait preuve de l'existence de la fonction g, les différentes énigmes demandent qu'on dispose effectivement d'une machine f o g (pas nécessairement de deux "machines" séparées). Comment ? Peut-on (doit-on) supposer qu'un Dieu des mathématiques fournisse une telle machine (qui prend une suite en entrée et en renvoie une autre) ?

Bref, ma première difficulté n'est pas sur l'utilisation de l'axiome du choix mais sur le passage d'une suite à la classe à laquelle elle appartient.