groupe libre

[invitef8bd6408]

bonjour tout le monde. J'ai un petit problème avec une propriété élémentaire sur les groupes libres. Soit un groupe libre et notons sa partie génératrice libre. Si tel que alors sont puissances d'un même troisième élément de .

Pour montrer ceci, je suppose que et où et je suppose évidemment que mes éléments sont écrits sous leur forme réduite (c'est à dire que et . Donc par hypothèse, j'ai . Mais ces derniers éléments de mon groupe ne sont pas forcement écrit sous leur forme réduite, rien n'interdit que ou (et) , donc pour moi, nous ne pouvons pas conclure que , si? en fait, si je sais conclure ce dernier fait, je sais conclure que sont puissance d'un même troisième avec un raisonnement par récurrence sur la longueur de mais voilà, pour moi, nous ne pouvons pas forcement égaliser comme j'ai fait plus haut car nous n'avons unicité de l'écriture seulement si ils sont écrits sous leurs formes réduites...

merci pour votre aide.
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[invitef8bd6408]

j'ai fait une petite faute, les où ...