Polynome et produit scalaire

[Vishnu]

Bonjour a tous,

Soit K e L deux polynomes, On travaille sur l'espace vectoriel euclidien Rn[x].

On prouve que <(K,L)> est supérieur a 0.

Or, on sait que L est orthogonal a un sous espace vectoriel R(n-1)[X]. De ca on déduit que K est de degré n.

Pourquoi?
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[Thorin]

"supérieur à 0" signifie-t-il supérieur ou égal, ou strictement supérieur ???

[SchliesseB]

Si L est orthogonal à . Alors pour tout polynôme P de degré (n-1):

Ainsi K ne peut pas être de degré (n-1) puisque or on sait que K est au plus de degré (n) (puisque dans ) donc K est bien de degré (n).



En fait, si L est orthogonal à un hyperplan F (de dimension (n-1) dans un espace E de dimension n, il existe alors D de dimension 1 tel que en somme directe pour le produit scalaire étudié) alors pour tout K dans l'espace E, il peut s'écrire P+Q avec P sa projection dans l'hyperplan F et Q sa projection sur la droite vectorielle D.
et

et donc entraine .

ici, l'espace D est une droite vectorielle qui ne contient que des polynômes de degré (n) et le nul (puisque l'intersection avec l'hyperplan est le singleton nul). ainsi
avec P un polynôme de degré au plus (n-1) et Q un polynôme de degré (n). donc K est bien de degré (n).

Une bonne représentation de la chose se fait avec l'espace . L'hyperplan est alors un simple plan (passant par l'origine). La droite vectorielle orthogonale est alors la droite (passant par l'origine) perpendiculaire à ce plan.