probabilité (CRPE)

[invite572ebd1a]

Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice de probabilité:

Mehdi dispose de 10 paires de chaussures distinctes.
Il les jette en vrac dans une caisse.
Il extrait, l'une après l'autre et au hasard 4 chaussures de cette caisse.

Quelle est la probabilité qu'il dispose d'une paire (au moins) de chaussures assorties?

Pour moi il faut prendre au moins 11 chaussures pour être sur d'avoir au moins une paire de chaussure assortie, mais je ne sais pas si cela va me servir ici.
Ensuite j'ai pensé calculer 4 parmi 20 mais je ne sais pas trop.
Je ne vois pas comment il faut procéder.
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

Il a 10 paires de chaussures différentes, il prend 4 chaussures, ce qui fait bien tirages différents.

Il faut maintenant que tu comptes combien de tirages contiennent au moins une paire donc qui contiennent 1 ou 2 paires.

On peut obtenir 10 paires différentes et il reste à prendre 2 chaussures parmis 18, donc
on ne compte ici que avoir une paire au moins (et en avoir une deuxième et possible)



et de cas en tout donc la probabilité P:



Après tout çà je ne suis pas un expert de proba donc ce n'est pas sûr ^^
RoBeRTo

[invite572ebd1a]

Ah oui d'accord merci

[Floria]

Bonjour!
Je me permet de remonter le sujet, car j'ai le même exercice et je ne comprend pas la réponse.
Pourquoi 2 parmi 18? Est-ce qu'on considère que l'on se fiche des deux premières chaussures tirées et qu'ensuite il nous reste 2 chances de tirer des paires? Et dans ce cas, pourquoi 2 parmi 18 et pas 2/18 (j'ai toujours eu du mal à savoir pourquoi parfois on utilisait les combinaisons et d'autres les fractions...)? Et on ne prend pas en compte le fait que les deux premières chaussures tirées puissent former une paire??
Bref, je vois pas d'où vient cette solution.


D'autre part, j'ai trouvé une autre solution avec une méthode plus "basique": des arbres de proba.
On tire une première chaussure. Au deuxième tirage, la probabilité d'avoir déjà une paire est de 1/19.
Si on a pas eu de paire, au troisième tirage la probabilité d'en avoir une est de (18/19)*(2/18)
Si on en a toujours pas eu, la probabilité d'en avoir une au quatrième tirage est de (18/19)*(16/18)*(3/17)

En sommant ces probas, on obtient une probabilité finale de 99/323, ce qui n'est pas égal à la proba donnée dans la solution précédente (même si c'est pas loin).

Si quelqu'un pouvait m'expliquer:
1)quelle solution est la bonne
2)comment faire avec les combinaisons
ce serait franchement génial, merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Floria]

Après d'autres recherches, j'ai aussi trouvé une solution par arrangements, mais j'ai vraiment du mal avec les arrangements...
En gros, on considère que les chaussures sont tirées successivement, le nombre de tirages possible devient donc un arrangement de 4 parmi 20 et plus une combinaison. (pourquoi? )
Ensuite, on considère la probabilité que l'on ait pas de paire parmi les chaussures tirées:
La première est tirées au hasard, donc 20 possibilités (ou 1 parmi 20 pour le coup ça revient au même)
La seconde ne doit pas former de paire avec la première, donc 18 possibilités
La troisième ne doit former de paire avec aucune des deux précédente, on a donc 16 possibilités (il reste 18 chaussures et on en exclut )
La troisième ne doit former de paire avec aucune des trois précédente, ce qui donne 14 possibilités (il reste 17 chaussures et on en exclut 3)
La probabilité de ne pas avoir de paire est donc
Et la probabilité d'avoir au moins une paire est alors , ce qui donne la même solution que celle trouvée avec l'arbre.

J'en déduis que la première solution donnée n'est pas bonne....mais je ne comprends pas très bien les arrangements et j'aimerais bien savoir faire ça avec les combinaisons, donc si quelqu'un pouvait m'expliquer comment faire ce serait génial!
(et si en plus quelqu'un sait pourquoi, quand on tire successivement, on doit utiliser les arrangements et pas les combinaisons, parce que j'ai du mal à voir la différence entre les deux...)
merci d'avance!

[Amanuensis]

1)quelle solution est la bonne

La vôtre. L'erreur dans la solution précédente vient de

"on ne compte ici que avoir une paire au moins (et en avoir une deuxième et possible)"

Ce n'est pas ce qui a été compté...

Le décompte correct par la manière indiquée est :

Nombres de cas deux paires : (choix de deux paires parmi dix)

Nombre de cas au moins une paire : ce qui a été indiqué, , moins le nombre de cas deux paires, car ils ont été comptés chacun deux fois...

[Le 2 parmi 18 correspond au nombre de cas de 2 chaussures prises dans les 18 chaussures restantes une fois mise de côté la paire tirée. En quoi cela pose-t-il problème ? ]

Soit 1530 - 45 = 1485 = 99 . 15, on retrouve votre résultat.

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Cela illustre une des difficultés avec les décomptes de combinaison : éviter de compter plusieurs fois un même cas.

[Floria]

merci beaucoup! Je pense que j'ai bien compris cette fois

Et la différence avec les arrangements, c'est que dans le cas des arrangements on prend en compte l'ordre de tirage, ce qu'on ne fait pas avec les combinaisons, c'est ça? Or vu qu'ici l'ordre de tirage n'influe pas sur le résultat on peut utiliser les deux...

[Amanuensis]

Et la différence avec les arrangements, c'est que dans le cas des arrangements on prend en compte l'ordre de tirage, ce qu'on ne fait pas avec les combinaisons, c'est ça? Or vu qu'ici l'ordre de tirage n'influe pas sur le résultat on peut utiliser les deux...

Je ne sais pas trop pour les arrangements, pas clair ce que vous signifiez par ce terme.

Mais les arbres de probabilités (que ce soit celui que vous avez utilisé d'abord, ou son "complémentaire", décrit dans le message suivant) la vision est celle d'un processus, oui, avec l'ordre.

Dans le cas des combinaisons c'est juste un décompte "statique", un dénombrement de résultats possibles distincts.

Remarquons que les arbres sont plus généraux, le décompte de combinaisons n'étant bien adapté qu'aux cas de distributions uniformes. Il y a (malheureusement) trop d'exos de "probabilités" qui contiennent cette hypothèse, ce qui peut amener à oublier qu'il y en a d'autres.