Limite faible

[vrouvrou]

Bonsoir ,
je bloque sur cette question :
si alors il existe une suite avec et qui converge faiblement vers .
s'il vous plait
merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Ce n'est peut-être pas la méthode la plus simple, mais voici une solution (vue la question, je suppose que l'on se place dans un espace de Banach de dimension infinie) :

Notons l'adhérence de pour la topologie forte. Alors est fermé et convexe, donc est faiblement fermé. De plus, tout voisinage faible de l'origine contient un sous-espace vectoriel non trivial (exercice classique), donc on en déduit que tout voisinage pour la topologie faible d'un point de intersecte la sphère . Par conséquent, l'adhérence de pour la topologie faible est . Comme la topologie faible est métrisable sur les bornées, on en déduit ton résultat.

[vrouvrou]

Merci;
j'ai pas compris l'étape ou tu déduit que tout voisinage pour la topologie faible d'un point de B(0,1) intersecte la sphère S.

[Seirios]

Cela revient à dire qu'une droite passant par un point de B(0,1) coupe la sphère S.

Sinon, petit rectificatif sur mon argument : je dois supposer le dual X* séparable pour dire que la topologie faible est métrisable sur les bornés, donc ma preuve ne fonctionne que dans ce cas là. Tu travailles sur quel espace exactement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[vrouvrou]

Je suis sur un espace de Hilbert séparable

[Seirios]

Et de dimension infinie je suppose ; en dimension finie, le résultat est bien entendu faux (la sphère est fermée).

En fait, un espace de Hilbert séparable est isomorphe à (il suffit de considérer une base hilbertienne) qui est de dual séparable, donc ma preuve s'applique bien ici.

[vrouvrou]

Oui de dimension infinie ,
que veux dire: la sphère est métrisable sur les bornées

[Seirios]

Absolument rien, c'est la topologie qui est métrisable sur les bornés. Cela veut dire que, pour B une partie bornée de ton espace X, l'espace topologique B munie de la topologie induite est métrisable ; en particulier, le critère séquentielle de la fermeture est vérifié.