estimateur du maximum de vraisemblance

[inviteecacb409]

j'ai un petit exos ou je dois calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance. alors on a :

la densité Fm de la loi normale N(m,1) avec m inconnnue est donée par :

Fm(x) = 1/√(2π) e(-(x-m)²/2)

il faut que je determine l'estimateur du maximum de vraisemblance de m.

voila comment j'ai commencé:

Lm ( x1,...,xn) = ∏ Fm(x)
= ∏ ( 1/√(2π) e(-(x-m)²/2) )
= 1/√(2π)^n ∏ e(-(x-m)²/2)

log Fm = -nlog√(2π)- ∑ (-(x-m)²/2)

dérivée 1ère de log Fm = ∑ 1/2 (2x + 2m)

je ne sais pas si ca va jusque la ou si je me trompe completement
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[invite30f06b89]

C'est correct (si on est d'accord ce sont bien des dans tes formules) en annulant ta dérivée première tu as ton EMV (qui est un estimateur bien connu)

[inviteecacb409]

par contre je ne sais pas si mon calcul est juste ou pas ?? en annulant ma drivée 1ère je tombe sur :
∑ 1/2 (2x + 2m) = 0
∑ 1/2 2(x + m) = 0
∑ (x + m) = 0
donc m = -x

c'est bien ca ??

[inviteecacb409]

je ne sais pas si l'estimateur que j'ai trouvé est correct ou pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30f06b89]

Non il l'est pas tu dois avoir donc

Soit comme estimateur donc l'estimateur de substitution (ce qui est très souvent le cas que l'EMV redonne l'estimateur de substitution)

[invite30f06b89]

Et y a un problème de signe c'est

[inviteecacb409]

merci beaucoup . si jamais je veux savoir s'il est sans biais et convergent ?? (il suffit de demontrer que E(m) = 1/n ∑ E(x) ce qui donne E(m) = m mais par contre pour la variance je ne sais pas trop

[invite30f06b89]

Tes variables sont indépendantes quelle conséquence ça a sur la variance de la somme ?

[inviteecacb409]

je voulais calculer la variance afin de démontrer que si elle tend vers zero quand n tend vers l'infini alors l'estimateur est convergent.

[invite30f06b89]

J'ai pas dit qu'il ne fallait pas faire comme ça mais tu devrais trouver facilement la variance de l'estimateur la variance d'une somme de v.a. indépendantes étant la somme des variances des v.a.

[inviteecacb409]

V(m) = V (1/n∑ x)
= 1/n^2 ∑ V(m)
= 1/n V (m)
= m^2 / n

donc quand n tend vers l'infini V(m) tend vers zero , ce qui donne un estimateur convergent , c'est bien ca ???

[invite30f06b89]

Convergent dans oui.