Nature d'une série et équivalent.

[invite323995a2]

Bonjour à tous.
La série de terme générale zn= 1/n - ln(n/n-1) diverge elle où converge-t-elle?J'ai trouvé qu'elle divergeait (1/n série harmonique diverge et l'autre converge mais je n'ai pas réussi à le prouver donc la somme des 2 diverge).
Sachant que Hn= somme des zk de 2 à n + ln n il faut trouver un équivalent de hn quand n tend vers l'infini. Je ne sais pas comment m'y prendre. Si quelqu'un pourrait m'aider.

Merci d'avance.
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[invite34b13e1b]

salut,
la serie m'a tout l'air de converger.

un DL à l'ordre 2 du ln te donne le résultat.

[invited5b2473a]

l'autre converge mais je n'ai pas réussi à le prouver donc la somme des 2 diverge).

En effet, elle diverge.

[invitebe08d051]

Bonjour à tous.
La série de terme générale zn= 1/n - ln(n/n-1) diverge elle où converge-t-elle?J'ai trouvé qu'elle divergeait (1/n série harmonique diverge et l'autre converge mais je n'ai pas réussi à le prouver donc la somme des 2 diverge).

La somme d'une série qui converge et d'une série qui diverge est une série divergente, revois ton cours de séries numériques.

Le problème c'est que ce n'est pas le cas ici, en quoi la série serait convergente puisqu'elle équivalente à .

Pour toute la série, je partage l'avis de cleanmen, un simple DL permet de voir qu'elle est équivalente à et donc convergente.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

La dernière forme permet de mieux voir la convergence globale par un DL(2).
Après, il suffit de calculer et de l'exprimer en fonction de et en remarquant (sur la forme intérmédiaire) que les logs, sauf aux extrémités, vont disparaître 2 à 2 par par téléscopage, comme on dit.

[invitebe08d051]

La dernière forme permet de mieux voir la convergence globale par un DL(2).
Après, il suffit de calculer et de l'exprimer en fonction de et en remarquant (sur la forme intérmédiaire) que les logs, sauf aux extrémités, vont disparaître 2 à 2 par par téléscopage, comme on dit.

Le post de breukin (que je remercie au passage ) m'a donné une idée.

Par ce même télescopage, on peut voir que:

.

Ce qui nous permet de conclure immédiatement que la série converge vers .

Cordialement