noyau et im d'une matrice

[gus910]

Bonsoir,

soit
A=

Donner une base de ker A et de Im A

Quels sont les techniques pour calculer le noyau?
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[Seirios]

Bonjour,

Je ne vois pas d'autres méthodes que de résoudre le système AX=0 ; ici, ce n'est pas vraiment compliqué.

[gus910]

d'où x+y=0
2x+y+z+t=0
mz=0
mx+my=0

on a x+y+t=0

donc (1,0,1,1) est une base de keru?

[Seirios]

Il faut distinguer si m est nul ou non.

Sinon, ce que tu as écrit n'est pas correct, il faut avoir équivalence entre ton système et ton équation de ker(u).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

d'où x+y=0
2x+y+z+t=0
mz=0
mx+my=0

Tu devrais obtenir:



Ici, on ne rien dire, il faut discuter si est nul ou non.

[gus910]

si ou t=0

mt=0 => t=0

x+y=0 <=> x=-y
donc je remplace dans l'équation 2x+y+z+t=0
j'ai donc soit x+z=0
soit -y+z=0
donc (1,0,1,0) et (0,-1,1,0) sont des bases de ker A.

si m=0 et
x+z+t=0
-y+z+t=0

donc (1,0,1,1) et (0,-1,1,1) sont des bases de ker A.

est-ce bon?

[sylvainc2]

Les deux cas sont erronés.

Si m=0 alors:
a) x+y=0 --> x=-y
b) 2x+y+z+t=0
substituer a dans b :

-y+z+t=0

Il y a 2 variables libres:
si on choisit y=1, et z=1 alors t=0 et x=-1 à case de a)
ou encore si y=1, et t=1 alors z=0 et toujours x=-1
donc (-1,1,1,0) et (-1,1,0,1) sont dans ker A.
Pour Im A on peut prendre les colonnes 1 et 2.

Si m<>0 alors mt=0 force t=0, mx+my=0 est la même chose que x+y=0 on peut l'ignoer, il reste:
a) x+y=0
b) 2x+y+z=0

substituer a dans b:
-y+z=0

Il n'y a qu'une seule variable de libre: si y=1 alors z=1 et t=0 et x=-1 donc (-1,1,1,0) est dans ker A.
Pour Im A on peut prendre les colonnes 1,2 et 4.