Matrice et noyau

[inviteb4d8c3b4]

Alors voilà, pourriez-vous jeter un œil pour me corriger svp ?

J'ai une fonction avec étant un réel, est un polynôme quelquonque et de degré inférieur ou égal à , est le polynôme de degré .

On me demandait de prouver l'endomorphisme alors j'ai fais:

Je pose
et




et en développant et en rassemblant:


donc est un endomorphisme.

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Ensuite, on me dit d'établir la matrice de cet endomorphisme relativement à la base canonique de et là j'ai écrit:

Je pose:
La base est :






La matrice H est donc:



Ensuite, on me demande le rang de la matrice : j'ai répondu puisque tous les vecteurs colonne formant les vecteurs de la base de l'espace image, forment tous une famille libre.

Voilà, si vous pouviez prendre 5 minutes pour me corriger et m'expliquer mes erreurs, ce serait sympa.

Et là, on me demande de calculer le noyau, mais je sais pas faire, pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance.
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[invitec053041c]

J'ai juste regardé la fin pour le moment.

Ensuite, on me demande le rang de la matrice : j'ai répondu puisque tous les vecteurs colonne formant les vecteurs de la base de l'espace image, forment tous une famille libre.

Que penses-tu si a est un entier compris entre 0 et n ?

[inviteb4d8c3b4]

Heuuuu, là je vois pas où tu veux en venir. Mais avant ça, ce qui précède à l'air bon ?

Si j'essai d'appliquer le cours, j'ai bien dis j'essai alors :



Ce qui s'écrit:



Qu'on peut réécrire:





Et donc on a :

[invitec053041c]

Ce que tu dis est contradictoire.
Une matrice de rang n (de dim n) ne peut avoir un noyau non nul!

Pour revenir à ce que je disais tout à l'heure, regarde ce que devient ta matrice si a=n (fais cette étude des valeurs que peut prendre a avant de chercher le noyau)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4d8c3b4]

Ce que tu dis est contradictoire.
Une matrice de rang n (de dim n) ne peut avoir un noyau non nul!

Pour revenir à ce que je disais tout à l'heure, regarde ce que devient ta matrice si a=n (fais cette étude des valeurs que peut prendre a avant de chercher le noyau)

Et bien je comprends pas pourquoi a prendrait comme valeur n. Mais bon.

A chaque fois que a prend une valeur n, cela donne un vecteur colonne nul, pour a=0, c'est la colonne de gauche qui est égale à 0, pour a=1, seconde colonne égale à 0...pour a=n, dernière colonne égale à 0.

Je comprends pas où ça m'amène !?

Merci

[invitec053041c]

Ca t'amène à ne pas dire: la matrice est toujours de rang n !

Si a est un entier entre 0 et n, alors on a une colonne nulle et toutes les autres non nulles et indépendantes, et on voit facilement que le rang est (n-1).

Si a n'est pas un de ces entiers, alors le rang est n.

[inviteb4d8c3b4]

Ok, je comprends bien mais qu'en est-il du noyau alors ? Ce que j'ai présenté dans un message précédent pour le noyau est tout de même faux.

Mais alors, je vois pas trop vers quoi aller.

Merci

[invitec053041c]

Si a n'est pas un entier entre 0 et n , que vaut le rang ? donc à quoi est réduit le noyau ?

Si a est un de ces entiers, par exemple a=1, que vaut le rang ? Quelle est donc la dimension du noyau ? (cf théorème du rang!)
Après avoir trouvé la dimension du noyau, il te reste plus qu'à observer ta matrice pour trouver par quoi est engendré le noyau...(facile)

[inviteb4d8c3b4]

Si a n'est pas un entier entre 0 et n , que vaut le rang ? donc à quoi est réduit le noyau ?

Si a est un de ces entiers, par exemple a=1, que vaut le rang ? Quelle est donc la dimension du noyau ? (cf théorème du rang!)

Là, j'expose que si alors dim(ker(ha))=1 et
si alors dim(ker(ha))=0

Après avoir trouvé la dimension du noyau, il te reste plus qu'à observer ta matrice pour trouver par quoi est engendré le noyau...(facile)

Là, j'ai beau regarder mon cours, je trouve pas ! C'est la galère, faut vraiment que je reprenne tout depuis le début !!!

[invitec053041c]

Là, j'expose que si alors dim(ker(ha))=1 et
si alors dim(ker(ha))=0

C'est pour a entier, compris entre 0 et n, et non pour a=<n. (pour a=2.5 le rang est n..)

[inviteb4d8c3b4]

Ok,merci, je m'en sortirais maintenant !

[invitec5eb4b89]

Bonjour,

J'aimerais juste revenir sur les notations je changerais

et



et en développant et en rassemblant:

en ...

Soit un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à :

, d'où .

Ainsi .

Voilà, je chipote surement un peu, mais je trouve ça plus clair, non ?

Bon courage,
V.