Représentations de Z et Z/nZ

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !

Je travaille sur les représentations et j'avoue que ce n'est pas facile...

On me demande par exemple :

1) Classer à isomorphisme près toutes les représentations de Z de degré 2 sur C. Ces repésentations sont-elles simples ? Irréductibles ?

2) Soit n>1. Classer à isomorphisme près toutes les représentations de Z/nZ de degré 1,2 et 3 sur R.

Bon le cours c'est bien beau mais les représentations en exemples, elles tombent quand même un peu du ciel. On apprend à étudier quelques trucs, genre les représentations de dimension 1 mais pas plus loin.

Alors j'ai une question : quelle est la méthode (ou les) pour déterminer ses fameuses représentations ! Faut-il les connaître par coeur ?
Merci pour votre aide !
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[invitebb921944]

Ouch c'est si difficile que ça ?
En fait y'a pas de bouquins d'exos corrigés sur le sujet et c'est relativement abstrait !
Et puis je ne vois pas du tout comment m'y prendre pour déterminer des objets "à isomorphisme près".

[invitebe0cd90e]

Salut,

Pour répondre à ta 2e remarque, il n'y en général pas de techniques miracles pour représenter des groupes. Meme si pour les groupes finis c'est sans doute plus simple.

Dans tes exemples, tu as des groupes relativement "sympa", donc ca devrait aller, meme si a mon avis il faut reflechir un peu (ce qui ne va pas etre mon cas )

Je pense que l'idée, dans ce cas précis, est d'utiliser le fait que tes groupes peuvent etre chacun caractérisé par un critere simple, et en particulier par le fait qu'ils sont engendré par un seul élément, dont il suffit de trouver l'image dans GL_n(C).

Pour Z, il suffit donc de trouver l'image de 1 dans GL_2(C). Comme Z est libre, a priori et sauf erreur (mais je suis mal reveillé, alors pardon d'avance), tu peux l'envoyer ou tu veux.... reste à voir quel genre de groupe l'image de 1 va engendrer, et quand est ce que ca va donner des representations isomorphes.

Pour Z/nZ, c'est pareil, faut trouver l'image de 1. Sauf que la, tu dois aussi faire attention au fait que 1 est d'ordre n. Donc il ne peut pas etre envoyé sur n'importe quoi.... J'allais te dire qu'en dim 1 il fallait regarder du coté des racines de l'unité, mais tu es sur R.. donc faut plutot regarder la parité de n. Pour les dim superieures, va falloir prendre des matrices nilpotentes, a priori... genre d'ordre de nilpotence un diviseur de n...

Par contre, quelle difference fais tu entre simple et irreductible ?

Gaffe quand meme : je n'ai parlé que de morphisme de tes groupe dans des GLn(C). Il faut encore verifier que ca donne bien des actions lineaires, a vue de nez ca va etre le cas mais bon...

[invitebb921944]

Merci je vais réfléchir un peu à tout ça !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Merci je vais réfléchir un peu à tout ça !

Euh, oublie ma derniere remarque, en fait. La question ne se pose pas quand on raisonne avec des morphismes vers GL_n(C).

[invite35452583]

Alors une représentation d'un groupe G est un morphisme de groupe T : G->GL(V), V un ev sur un corps k, ou encore en dimension finie G->GL_n(k).
Pour les groupes mono engendrés que sont les Z et les Z/nZ T est uniquement défini par l'image d'un générateur, on peut prendre 1 pour simplifier.
Pour Z, il n'y a aucune condition car c'est un groupe libre (tout application 1->H, H un groupe, se prolonge de manière unique en un morphisme de Z dans H).
Là pas grand chose de neuf par rapport à jobherzt (mais il fallait bien introduire).
Maintenant, deux représentations sont isomorphes si et seulement si il existe un isomorphisme G-équivariant entre les deux. Il est facile de partir de la définition, utiliser le fait que T est uniquement défini par T(1), pour montrer que deux représentations de Z sont isomorphes si et seulement si T(1) et T'(1) sont semblables (d'ailleurs c'est un autre nom utilisé pour dire que deux représentations sont isomorphes).
Il est alors facile de lister les classes d'isomorphisme.
Maintenant, une représentation irréductible ne contient aucun sous-espace propre G-invariant. Ici, il suffit pour un sev d'être T(1) invariant, càd que T(1) ne contient aucun sous-espace propre stable. Est-il possible qu'un isomorphisme de C² ne laisse stable aucune droite complexe ? En déduire que les représentations irrédutibles ne sont pas légions pour C².
Par contre, on voit que certaines infirment leThéorème de Maschke (toute représentation d'un groupe fini est somme directe de représentations irréductibles). La finitude est donc importante pour ce théorème.
Le terme simple est plutôt réservé au K(G)-module, ici K=C, mais cela revient au même qu'irréductible.

Maintenant, pour les représentations des Z/nZ de degré 1, 2 ou 3 sur R.
Degré 1 : Gl₁(R) est isomorphe à R*. La condition Id=T(0)=T(n.1)=T(1)ⁿ implique que l'élément de R* ne peut-être que 1 ou -1. Il n'y a donc qu'une ou deux représentations possibles de degré 1 selon la parité de n. Déterminer les classes d'isomorphisme est alors trivial.
Degré 2 : Il faut et il suffit que T(1)ⁿ=Id_R².
En particulier det(T(1))=1 si n impair, =+/-1 si n pair.
Cas det=-1, les v.p ne peuvent être complexes conjuguées, il y a donc deux v.p. réelles (du moins dans un 1er temps en comptant la multiplicité) dont le produit vaut -1 donc distinctes, donc T(1) est diagonalisable et en utilisant le fait que T(1)ⁿ=Id T(1) est donc une symétrie axiale. l n'est pas alors difficile de montrer qu'elles sont toutes isomorphes. Elle sont sommes directes de deux représentations de degré 1.
cas det=+1. A montrer que v.p réells=> T(1)=Id. v.p. complexes conjuguées=>T(1) est une rotation d'ordre divisant n. Les classes de conjugaison s'en déduisent alors facilement (deux rotations de R² sont conjuguées si et seulement si ...). A remarquer que ces représentations (irréductibles soit dit en passant) peuvent être "vues" comme des représentations de degré 1 sur C mais les classes de conjugaison sont alors plus nombreuses.
Degré 3 : det(T(1))=+/-1. -1 n'étant possible que pour n pair.
det=-1, 3 v.p. réelles=>semblables à diag(-1,+1,+1) ou à diag(-1,-1,1) (se montre en passant par une matrice semblable triangulaire). Donc somme de trois représentations de degré 1.
det=-1, 1v.p. réells 2v.p. complexes conjuguées=>T(1)=diag par blocs (-1, matrice 2x2 d'une rotation). Représentation=somme directe d'une degré 1 (symétrie) et d'une degré 2 (rotation d'un plan).
det=+1, 3 v.p. réelles (idem que précédemment) somme de trois représentations de degré 1 (deux possibilités pour n pair, une seule pour n impair)
det=+1, 1v.p réelle deux complexes conjuguées, idem que précédemment =somme directe (identité) de degré 1 + degré 2 (rotation d'un plan)

[invitebe0cd90e]

Homotopie > Il ne faut pas non plus lui macher le travail !!

Mais puisque on en est la, j'ajoute que tu dois avoir un théorème qui dit que les représentations irréductibles d'un groupes abéliens sont forcement de degré 1. Reciproquement, par definition une representation de degré 1 est irreductible ! Ca devrait t'aider à conclure plus simplement....

[invitebb921944]

Merci beaucoup, ça va vraiment m'aider pour la suite du TD (et la compréhension du cours) !
Merci encore !