Groupe et représentations

[inviteca4b3353]

Salut,

Je viens de voir récemment comment avec différentes représentations du groupe de Poincaré, on pouvait trouver les équations de mouvement des champs décrivant des particules de spin 0,1/2,1 (si m non nul) ou d'hélicité 1,-1 (si m nulle). Je ne cache pas que j'ai été un peu bouleversé par ce cours Mais bon voilà, il y a un hic : Je n'arrive pas à comprendre avec des mots simples, ce qu'est une représentation d'un groupe (et par conséquent une représentation irréductible). Quelqu'un pourrait éclairer ma lanterne ?

PS : par ailleurs vous sauriez où (livre, pdf...) je pourrais trouver un texte qui développe ce type de raisonnement pour Poincaré. On m'a dit que Weinberg le faisait mais de façon plus abstraite enfin bon, je ne me sens pas encore les épaules de lire plus loin que les deux premiers chapitres de ce bouquin (Quantum Theory of Fields)

Merci infiniment
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[invite8c514936]

Alors commençons par les représentations d'un groupe... Une façon simple de voir les choses, c'est de voir une représentation comme une collection d'objets, correspondant chacun à un élément du groupe, et ayant entre eux les mêmes relations que les éléments du groupe.

Exemple : j'ai un groupe G contenant les elements A,B,C, tels que avec la loi de composition du groupe, A.B=C, B.C=A, C.A=B.

Un ensemble E contenant les éléments 1,2,3, avec par exemple la correspondance A->1, B->2, C->3, sera une représentation de G si la loi de composition dans l'ensemble E est telle que 1.2=3, 2.3=1, 3.1=2.

Un groupe peut avoir une infinité de représentations complètement différentes (par exemple dans l'exemple précédent, les éléments 1, 2 et 3 peuvent être des matrices de dimension quelconque, des nombres, des tout ce que tu veux...

Voilà pour un premier message simple (trop ?)...

[mtheory]

Salut,

Je viens de voir récemment comment avec différentes représentations du groupe de Poincaré, on pouvait trouver les équations de mouvement des champs décrivant des particules de spin 0,1/2,1 (si m non nul) ou d'hélicité 1,-1 (si m nulle). Je ne cache pas que j'ai été un peu bouleversé par ce cours Mais bon voilà, il y a un hic : Je n'arrive pas à comprendre avec des mots simples, ce qu'est une représentation d'un groupe (et par conséquent une représentation irréductible). Quelqu'un pourrait éclairer ma lanterne ?

Merci infiniment

En fait les groupes de Lie sont des groupes de transformations/substitutions dans les équations différentielles à l'origine.
Lorsque tu considère une transformation infinitésimale les dévellopppements limités que tu obtiens dans une fonction à n variable font intervenir une matrice.
On montre en fait que la connaissance de cette matrice permet de reconstituer complétement l'action de la transformation(changement de variable en gros) sur l'équation différentielle.
Donc de la même façon qu'on classifie les formes quadratiques et les méthodes de résolutions des équations algébriques on classifie certaines équations différentielles et leurs méthodes de résolutions.

Plutot que de considerer toutes les fonctions de transformations possibles dans différents système de coordonnées on sait qu'il suffit d'étudier les matrices précédentes.

Donc les groupes sont alors représentés linéairement par ces matrices qu'il est bien plus simples d'étudier,surtout dans leurs bases diagonales.
Leurs décompositions en blocs de Jordans est alors leur décomposition en éléments irréductibles.

C'est analogue à la décompositions des nombres en produits de nombres premiers et à l'analyse de Fourier.
La symétrie est alors la périodicité par translations.
See what i mean?

[invite65d14129]

J'ai moi aussi des lacunes impardonnables sur ce sujet....
Si je comprends bien, les matrices dont tu parles sont les générateurs du groupe de Lie. Mettons qu'on prenne SU(2). Quel est lien entre une représentation de SU(2) (je sais maintenant ce que c'est grace a ton exemple tres clair) et les générateurs du groupe de Lie? et l'irréductibilité? Tu l'as peut etre dit plus haut mais ... j'ai pas compris encore.. Merci!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

Je ne cache pas que j'ai été un peu bouleversé par ce cours

mais qui ne le serait pas !

PS : par ailleurs vous sauriez où (livre, pdf...) je pourrais trouver un texte qui développe ce type de raisonnement pour Poincaré.

Un soupçon de théorie des groupe par Delamotte est désormais un classique en France.

On m'a dit que Weinberg le faisait mais de façon plus abstraite enfin bon, je ne me sens pas encore les épaules de lire plus loin que les deux premiers chapitres de ce bouquin (Quantum Theory of Fields)

Weinberg a écrit un livre de première importance. Je crois me souvenir que le premier chapitre n'est "que" historique, mais le second chapitre (RQM n'est-ce pas ?) développe déjà pas mal de choses sur les groupes. Bien entendu j'ai oubié les 3/4 du Weinberg, néanmoins je ne saurais trop en recommander la lecture exhaustive et linéaire.

Aussi, le Lie Algebras in Particle Physics de Howard Georgi est un classique.

Tu veux que l'objet representant une particule (ici "represeter" au sens général) respecte un certain nombre de symétries. En particulier la loi du groupe de symétrie doit être respectée. Cela mène naturellement à utiliser les représentations (au sens strict) du groupe de symétrie considéré. Bof. Kes ? Je ne peux pas mieux formuler les choses que Delamotte de toute façon...

[inviteca4b3353]

Salut,

Merci beaucoup pour vos réponses.

Si je comprends bien une réprésentation est une sorte de bijection vers un autre groupe (ou simple ensemble ?) vérifiant les mêmes lois ? Etudier le premier ou le second est équivalent ? Peut-on alors définir un (super) groupe dont les éléments sont les groupes reliés par les différentes représentations ?
D'ailleurs, peut-on savoir combien de représentations un groupe peut avoir. Comment fait-on pour savoir si une représentation est irréductible ?


Pour revenir à mon exemple :
La représentation scalaire du groupe de Poincaré associe un nombre (ou un champ scalaire) à chaque référentiel (élément du groupe), et on doit imposer que ce nombre soit invariant (en tant que scalaire, c'est un invariant de Poincaré).
Pour la représentation vectorielle, j'associe donc maintenant un 4-vecteur à chaque référentiel et j'impose qu'il se tranforme comme tout bon 4-vecteur via les tranformations de Lorentz.
Idem pour la représentation spinorielle, mis à part que la loi de transformation des spineurs est différente de celle des 4-vecteurs.
C'est ça où je fais fausse route ?

D'ailleurs ça me fait penser, en MQ quand on utilise des opérateurs unitaires pour faire des rotations (ou translations...), on fait un choix de représentation ? à chaque rotation on associe un opérateur qui doit être unitaire pour avoir la même propriété de conservation des longueurs des rotations ?

Auriez-vous quelques précisions sur ce qu'on appelle une représentation projective ?

Plutot que de considerer toutes les fonctions de transformations possibles dans différents système de coordonnées on sait qu'il suffit d'étudier les matrices précédentes.

Tu fais référence au générateur du groupe ?

[invitea29d1598]

juste un commentaire sur un point (y'a trop de questions pour moi! )

Si je comprends bien une réprésentation est une sorte de bijection vers un autre groupe (ou simple ensemble ?) vérifiant les mêmes lois ? Etudier le premier ou le second est équivalent ? Peut-on alors définir un (super) groupe dont les éléments sont les groupes reliés par les différentes représentations ?

grossièrement l'idée c'est ça: un groupe est un ensemble mathématique abstrait avec les lois que tu connais. Si tu "matérialises" (= "représentes") le groupe par un exemple "concret" d'objets mathématiques formant le groupe, tu en as une représentation. Donc le "super groupe" dont tu parles, c'est le groupe...

m'enfin, je rejoins humanino : lis le truc de Delamotte, ça sera pas du temps perdu

[invite8c514936]

D'ailleurs ça me fait penser, en MQ quand on utilise des opérateurs unitaires pour faire des rotations (ou translations...), on fait un choix de représentation ?

Tout-à-fait ! Et on peut faire ça de pas mal de façons possibles, en particulier avec des opérateurs qu'on peut représenter par des matrices NxN... Pour certains opérateurs, le choix de N est au final lié au moment cinétique de la particule, si c'est une particule que tu représentes, et pour d'autres opérateurs il est lié au spin de la particule.

à chaque rotation on associe un opérateur qui doit être unitaire pour avoir la même propriété de conservation des longueurs des rotations ?

Pas vraiment. Il doit être unitaire pour conserver la normalisation des états, si tu travailles avec des états normés.

[invite143758ee]

je comprends bien une réprésentation est une sorte de bijection vers un autre groupe (ou simple ensemble ?) vérifiant les mêmes lois ? Etudier le premier ou le second est équivalent ? Peut-on alors définir un (super) groupe dont les éléments sont les groupes reliés par les différentes représentations ?

..morphisme! pour préserver la structure de groupe.
mais pas nécessairement bijective.
soit l'ensemble { -1, 1} (un, groupe), une représentation est {1} agissant sur les réèls.

je ne sais plus si ça été dis, mais, une réprésentation est un couple (le morphisme en question R, et l'espace vetorielle sur lequel va agir R(g) ) , g élément du groupe.

Je viens de voir récemment comment avec différentes représentations du groupe de Poincaré, on pouvait trouver les équations de mouvement des champs décrivant des particules de spin 0,1/2,1 (si m non nul) ou d'hélicité 1,-1 (si m nulle). Je ne cache pas que j'ai été un peu bouleversé par ce cours

moi ce qui m'a choqué , c'est qu'on définit la masse comme étant valeur propre d'un casimir, mais les maths autorise m réèls,...bon,bon, ça bouleverse quand même moins, quand on voit cette artificialité...

[invite65d14129]

mais qui ne le serait pas !
Tu veux que l'objet representant une particule (ici "represeter" au sens général) respecte un certain nombre de symétries. En particulier la loi du groupe de symétrie doit être respectée. Cela mène naturellement à utiliser les représentations (au sens strict) du groupe de symétrie considéré. Bof. Kes ? Je ne peux pas mieux formuler les choses que Delamotte de toute façon...

Mais quel est donc ce lien entre les notions : d'observabilité, de quantités conservées, et de symétries?
Les th de Noether expliquent bien formellement le lien entre ces deux derniers points (mais d'ailleurs, peut-on expliquer avec des mots ce lien entre symétries et quantités conservées?)

Quant au premier point, c'est quelque chose qui m'interesse beaucoup. Une piste pour creuser l'éventuel lien entre la notion d'observable et celle de quantités conservée est une idée que j'ai lu chez Pauli, qui parle de la reproductibilité des phénomènes physiques (et donc des expériences). Il semble bien nqturel que pour construire un savoir qui est à la base expérimental (la physique) il faut que nos expériences soient reproductibles. Et on sent bien que cette reproductibilité est rendue possible par l'existence de quantités conservées, même si j'ai du mal à expliciter davantage ce lien. On peut même dire, à l'inverse, qu'on ne saurait voir et modéliser que des phénomènes qui se reproduisent, et donc que des quantités conservées... amusant non?

Un exemple : un ami m'a posé cette question troublante : que serait notre physique s'il existait une expérience de matrice S telle qu'on balance un électron à l'entrée, et qu'on en récupérerait deux à la sortie!!?? ... gageons qu'il faudrait revoir notre concept d'électron! puisque si la conservation de la charge était violée, nous ne pourrions plus utiliser la charge électrique comme caractérisation de l'objet électron (plus masse et spin)
...mmm

[inviteca4b3353]

Pas vraiment. Il doit être unitaire pour conserver la normalisation des états, si tu travailles avec des états normés.

C'est ce que je voulais dire. Pour une rotation géométrique les longueurs sont conservées. L'équivalent pour une rotation dans l'espace des états est de préserver la norme des vecteurs d'états, donc U doit être unitaire. On parlait bien de la même chose

moi ce qui m'a choqué , c'est qu'on définit la masse comme étant valeur propre d'un casimir, mais les maths autorise m réèls,...bon,bon, ça bouleverse quand même moins, quand on voit cette artificialité...

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. m² est simplement la valeur propre de P² dans la représentation impulsion. Et par définition le produit scalaire dans l'espace temps est invariant, donc m est un invariant scalaire. Qu'est ce qui te gène exactement ?

(mais d'ailleurs, peut-on expliquer avec des mots ce lien entre symétries et quantités conservées?)

Ben, si il y a une symétrie du système sous une certaine transformation, cela signifie que le système est invariant, ie une caractéristique du système ne varie pas où est conservée. Moi je le comprends intuitivement comme ça. Après le théorème de cette chère Emmy est simplement une preuve rigoureuse de cette intuition qui permet de calculer cette quantité invariante du système quelque soit la situation.

En ce qui concerne ta digression sur la reproductibilité des expériences liée à l'invariance ou à la conservation de quelque chose, ça me rappelle une question que je m'étais posé il y a quelques années : "Est-ce qu'on remarque dans nos expériences les choses qui se reproduisent à tout coup ou bien les choses qui sortent de l'ordinaire ?" Personnellement je pense que les deux sont vraies. Il faut qu'un fait se produise plusieurs fois pour qu'il puisse attirer notre attention, mais il peut très bien se faire remarquer en se démarquant de la routine. Bref, ce qu'on observe sont à la fois les symètries d'un système mais aussi les brisures de ces dernières. Donc on n'observe pas toujours que des quantités conservées

m'enfin, je rejoins humanino : lis le truc de Delamotte, ça sera pas du temps perdu

Ouais, je vais m'y mettre. Dans le week-end c'est pas forcément jouable (vu le boulot que j'ai déjà...) mais je tente. Merci encore pour la ref.

[invite143758ee]

m2 est simplement la valeur propre de P2 dans la représentation impulsion. Et par définition

..W^2, le carré du vecteur de pauli lubanski...
ce qui me gêne c'est le tachion...autorisé, par la théorie.
et toute les possibilités de constuire la théorie...
mais, je n'ai pas la maturité pour la critiquer, juste pour dire, que ça m'a déçu ces choix arbitraires...
je ne sais pas.

[inviteca4b3353]

..W^2, le carré du vecteur de pauli lubanski...
ce qui me gêne c'est le tachion...autorisé, par la théorie.
et toute les possibilités de constuire la théorie...
mais, je n'ai pas la maturité pour la critiquer, juste pour dire, que ça m'a déçu ces choix arbitraires...
je ne sais pas.

Tu peux être plus précis, je ne vois pas où tu veux en venir (et surtout par où tu passes pour en venir là).
C'est le fait que ce soit m² qui soit fixé et non m qui te gène ? Donc la possibilité d'avoir une masse négative ?
La carré du vecteur de PL est simplement un invariant qui caractérise le spin (ou l'hélicité) je ne vois pas ce qui gène avec ça par rapport à la masse.
De quels arbitraires parles-tu ?

[invite143758ee]

oui, voilà, W^2 donne m^2.s(s+1),
..etc,etc,..pardon, pour cette digression.

à+.

[mtheory]

..W^2, le carré du vecteur de pauli lubanski...
ce qui me gêne c'est le tachion...autorisé, par la théorie.
et toute les possibilités de constuire la théorie...
mais, je n'ai pas la maturité pour la critiquer, juste pour dire, que ça m'a déçu ces choix arbitraires...
je ne sais pas.

Tout cela n'est pas arbitraire mais repose sur la théorie des invariants.
Avec la théorie des groupes on peut déterminer la forme générale d'équations possédants des symétries et donc des lois de conservations données.
Ex je veux construire toutes les équations différentielles de champs ou de particules qui soient invariantes sous le groupe de Lorentz.

Ce que te dit la théorie des groupes c'est qu'il existe un ensemble d'invariant,formant une sorte de base, dont tous les autres invariants sont fonctions.
Les représentations iréductibles te donnent donc ces invariants fondamentaux dont tous les autres sont des combinaisons.
Ces invariants sont alors indexés , en gros, par la masse et le spin pour des équations d'ondes décrivant des particules.
Je te conseil de lire les livres de Weyl sur la théorie des groupes classiques et des groupes en MQ ainsi que les livres de Littlewoods 'the skeleton keys of mathematics',' introduction to university algebra' ou qq chose comme ça!

Je continue,si tu as une équation différentielle linéaire alors elle a un espace vectoriel de solutions,surtout avec les problèmes avec valeurs propres et fonctions propres.
Toutes les solutions sont alors des superpositions linéaires de ces fonctions de bases.
Lorsque tu changes de coordonnées,disons par rotations,les coeffiscients des combinaisons linéaires précédentes changent et ils sont juste les transformés matricielle des précédents .
Cette matrice étant liée aux représentations du groupe de rotations du système on peut avoir des renseignements sur les valeurs propres de l'équations SANS résoudre celle-ci,uniquement en étudiant ses symétrie.
En MQ si tu regarde l'Hamiltonien du systéme tu peux avoir des renseignements sur les valeurs propres de l'énergie sans résoudre l'équations de Schroedinger.
C'est capitales en chimie quantiques avec n électrons et en physiques des particules où celles-ci sont considérées comme différents états d'un seul champ(multiplets).
Il y a des relations avec l'analyse harmonique.

[mtheory]

Un trés bon truc ,que je viens juste de découvrir, me semble ceci:

http://www.physicsforfree.com/intro.html

J'ai encore battu mon record de fautes dans le dernier poste,désolé...

[mtheory]

D'ailleurs, peut-on savoir combien de représentations un groupe peut avoir. Comment fait-on pour savoir si une représentation est irréductible ?

C'est justement l'objet de la théorie des groupes de répondre à de telles questions!
Il y a des formules qui sont liées à l'analyse de Fourier.
Trouver une décomposition en représentations irréductibles est analogue aux développements en séries de fonctions possédant une périodicité (symétries).Ainsi les sinus et cosinus sont des sortes de représentations irréductibles.

[invitee16ff47e]

D'ailleurs, peut-on savoir combien de représentations un groupe peut avoir. Comment fait-on pour savoir si une représentation est irréductible ?

Ca en fait des questions... je vais mobiliser mes maigres connaissances pour apporter quelques éléments. Pour trouver les représentations irréductibles, le truc tu le connais déjà avec la théorie du moment cinétique en mécanique quantique, qui n'est autre que la classification des représentations irréductibles du groupe des rotations (qui est bien plus général que la mécanique quantique...). Le truc, ce sont les opérateurs d'échelle J+ et J- qui permettent d'engendrer, pour une valeur de l donnée, tous les vecteurs (l,m) pour m variant de -l à l à partir d'une valeur de m quelconque. Par conséquent par rotation (car les J+ et les J- viennent des rotations infinitésimales) on peut passer d'un vecteur à l'autre et engendrer un espace de dimension 2l+1 ; inversement, l'espace engendré par les 2l+1 vecteurs est stable par rotation donc c'est une représentation du groupe, et il n'y en a pas de plus petite donc elle est irréductible.

[invitee16ff47e]

Pour la représentation vectorielle, j'associe donc maintenant un 4-vecteur à chaque référentiel et j'impose qu'il se tranforme comme tout bon 4-vecteur via les tranformations de Lorentz.
Idem pour la représentation spinorielle, mis à part que la loi de transformation des spineurs est différente de celle des 4-vecteurs.
C'est ça où je fais fausse route ?

on peut dire que tu es dans le droit chemin

D'ailleurs ça me fait penser, en MQ quand on utilise des opérateurs unitaires pour faire des rotations (ou translations...), on fait un choix de représentation ? à chaque rotation on associe un opérateur qui doit être unitaire pour avoir la même propriété de conservation des longueurs des rotations ?

(quelqu'un a peut-être déjà répondu j'ai lu vite dans ce cas laisse tomber ce qui suit...) Oui les rotations et les translations agissant sur une fonction d'onde de Schroedinger, c'est une représentation particulière du groupe.
Pour les translations, le groupe est abélien, donc toutes ses représentations irréductibles sont de dimension 1, ce sont les ondes planes. (euh quelqu'un a peut-être déjà répondu j'ai lu vite).
Pour les rotations, les représentations irréductibles sont classifiées par les valeurs de l nombre quantique orbital. Ce sont les harmoniques sphériques.

Auriez-vous quelques précisions sur ce qu'on appelle une représentation projective ?

Oui ! C'est une représentation qui n'est pas vraiment une représentation. Par exemple, la transformation du spin 1/2 dans une rotation n'est pas vraiment une représentation du groupe des rotations. Parce que si on fait la composition de deux rotations d'angle pi on trouve l'identité, mais si on fait la même chose avec des spineurs on trouve -1. De manière générale, une représentation projective, c'est quand il y a des phases comme ça qui traînent dans les lois de multiplication... je peux être plus précis si tu veux.

[spi100]

J'ai parcouru le thread, et ça a probablement déjà était dit mais bon, ça me semble important.

Un espace propre d'un opérateur observable, par exemple de H, forme une représentation du groupe de symétrie du système quantique.

si G est un élément de sym, HG = GH, si X est vecteur propre de H alors GX l'est aussi.
Une représentation sur un espace vectoriel E est irréductible, si aucun vecteur de E autre que 0, n'est laissé invariant par l'action de G.
Un postulat important est de dire que les espaces vectoriels de H sont des espaces de représentations irréductibles. Je ne pense pas qu'il y ait de preuve exacte mais par exemple dans le cas de l'atome d'hydrogène, tu peux vérifier que les espaces propres de H sont des espaces de représentation irréductible pour le groupe O(4) qui est effectivement le groupe de symétrie complet de l'hamiltonien (c'est loin d'être trivial et je dois pouvoir retrouver la source).

Le principe est donc le suivant: au lieu de chercher à résoudre complètement le Hamiltonien, tu recherches de façon exhaustive son groupe de symétrie. Tu détermines les représentations irréductibles du groupe, et tu obtiens ainsi directement les vecteurs propres de H. La théorie des caractères t'aide à construire la liste exhaustive des représentations irréductibles du groupe.

[inviteca4b3353]

Salut,

Merci à tous le monde pour les commentaires, je suis entrain de faire la lecture du cours de Delamotte. Et j'aurai sûrement quelques questions à vous poser par la suite. Merci.

si G est un élément de sym, HG = GH, si X est vecteur propre de H alors GX l'est aussi.

le principe est donc le suivant: au lieu de chercher à résoudre complètement le Hamiltonien, tu recherches de façon exhaustive son groupe de symétrie. Tu détermines les représentations irréductibles du groupe, et tu obtiens ainsi directement les vecteurs propres de H. La théorie des caractères t'aide à construire la liste exhaustive des représentations irréductibles du groupe.

Je connais cette méthode, je m'en suis déjà servi pour des cas simples. Pour O(4) je vais me renseigner je n'en avais encore jamais entendu parler. Cependant est ce que cela est toujours vrai. Tous les X propres de H le sont-ils toujours lorsque multipliés par G ? Il y a des cas où les solutions ne sont plus aussi symétriques que le problème (ie le H) donné. Que se passe-t-il lorsqu'il y a brisure de symétrie ?

[spi100]

Salut,
Cependant est ce que cela est toujours vrai. Tous les X propres de H le sont-ils toujours lorsque multipliés par G ?

Je dirais oui :
donc si X est vp alors GX l'est aussi. L'hypothèse d'irréductibilité n'est par contre pas évidente.

Il y a des cas où les solutions ne sont plus aussi symétriques que le problème (ie le H) donné. Que se passe-t-il lorsqu'il y a brisure de symétrie ?

Là il faut que je me replonge dans ma littérature, c'est vraiment trop lointain.