Pôle qui disparaît quand cartésien -> polaire

[coussin]

Salut à tous

En venant d'une problématique _complètement_ différente, j'ai isolé un truc que je trouve étrange.
Imaginons la fonction .

Je m'intéresse à la somme de cette intégrale sur tout l'espace : Et a priori, y a un petit problème pour x=y=0.
Pourtant, il me suffit de passer en polaire pour avoir et le supplémentaire de l'élément différentiel polaire me régularise l'intégrant à ...

Bon… Bah j'ai pas vraiment de question en fait C'est juste « comme ça » j'imagine
Enfin, ça me chifonne quand même . La fonction f(x,y), elle a quand même bien un pôle à l'origine, non ? Et si je pense à cette intégration sur tout l'espace comme étant l'aire sous la surface f(x,y), comment ça peut être fini cette quantité ?

Merci d'avance pour tous commentaires
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[invite6e083fba]

Peut-on avoir le détail du changement de variable ? On va quand même pas fournir tout le boulot, non mais !

[invitea07f6506]

Peut-on avoir le détail du changement de variable ? On va quand même pas fournir tout le boulot, non mais !

Enfin, pour revenir à la question de départ : on peut voir ça de la façon suivante. Au lieu d'intégrer directement la fonction , on découpe le plan en cercles concentriques et on regarde combien chaque cercle participe à l'intégrale totale. L'intégrant en n'est pas la fonction d'origine ; d'ailleurs, c'est une fonction d'une seule variable réelle, alors que la fonction d'origine est un fonction de deux variables réelles. Il représente en gros l'élément infinitésimal de volume sous la courbe représentative de la fonction au niveau du cercle de rayon . Or, plus on se rapproche de , plus les cercles sont petits. Même si la fonction elle-même diverge en ce point, comme les cercles sur lesquels on l'intègre sont de plus en plus petits, la participation de chacun de ces cercles au volume total diminue.

Sans prétention à une véritable rigueur mathématique, malheureusement, mais je pense que ça compliquerait les choses.

[coussin]

Je suis d'accord
Mais ai-je raison de voir mon intégrale I comme étant l'aire sous la surface f(x,y) ? Si oui, comment cette aire peut avoir une valeur finie si ma surface comporte un pôle ?
Les « vrais » mathématiciens vont bondir () mais est-ce qu'on peut dire que c'est parce que le logarithme diverge en zéro « gentiment » ou « assez lentement »…

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

Le même phénomène en plus simple ; pour calculer , on pose classiquement , et on est ramené à .

La fonction initiale admet un pôle en chacune des extrémités de l'intervalle d'intégration . Après le changement de variable, on intègre la constante 1 qui est tout ce qu'il y a de plus régulier.

[coussin]

Est-ce que ça a à voir avec « la vitesse » à laquelle la fonction diverge ? diverge en … Est-ce que c'est pour ça ?
Est-ce qu'on peut « classifier » différents pôles pour prédire si une intégration passant par ceux-ci va converger ou non ?

[inviteac038092]

Si tu prends 1 sur racine(x), la primitive est 2 racine(x).

Il y a un pole en 0 mais ça s'intègre très bien car effectivement la fonction ne diverge pas trop vite.