Trigo / forme exp.

[invite3c51923e]

Alors voila, j'ai dans mon programme de colle une équation à savoir résoudre sans problème et je ne vois pas ce qui cloche dans ma résolution (mais après vérification a la calculette, c'est faux):
z^n = (z-1)^n
(z / z-1 )^n = 1
On reconnait les racines n-iemes de l'unité:
z/(z-1)= e(2kπ/n) avec 0<k<n+1
z=e(2kπ/n)*(z-1)
z=-e(2kπ/n)/(1-e(2kπ/n))
z=-e(2kπ/n)/((e(kπ/n)*(e(-kπ/n)-e(kπ/n)))
z=-e(kπ/n)/(-2isin(πk/n))
z=cos(kπ/n)+isin(kπ/n)/(2isin(kπ/n))
z=1/(2itan(kπ/n))+1/2

Bon c'est peut être pénible a lire, je comprend donc si vous avez des "astuces" pour le rendre plus agréable.
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[invite3c51923e]

Bon si vous trouvez ça chiant mais voulez quand même me rendre service, avez vous une méthode pour prouver que arcsin+arccos = pi/2, une méthode autre que en utilisant la dérivée de la fonction h = arcsin + arccos.

[invited5b2473a]

Alors voila, j'ai dans mon programme de colle une équation à savoir résoudre sans problème et je ne vois pas ce qui cloche dans ma résolution (mais après vérification a la calculette, c'est faux):
z^n = (z-1)^n
(z / z-1 )^n = 1
On reconnait les racines n-iemes de l'unité:
z/(z-1)= e(2kπ/n) avec 0<k<n+1
z=e(2kπ/n)*(z-1)
z=-e(2kπ/n)/(1-e(2kπ/n))
z=-e(2kπ/n)/((e(kπ/n)*(e(-kπ/n)-e(kπ/n)))
z=-e(kπ/n)/(-2isin(πk/n))
z=cos(kπ/n)+isin(kπ/n)/(2isin(kπ/n))
z=1/(2itan(kπ/n))+1/2

Bon c'est peut être pénible a lire, je comprend donc si vous avez des "astuces" pour le rendre plus agréable.

cos/sin = cotan (et non tan).

[invited5b2473a]

Bon si vous trouvez ça chiant mais voulez quand même me rendre service, avez vous une méthode pour prouver que arcsin+arccos = pi/2, une méthode autre que en utilisant la dérivée de la fonction h = arcsin + arccos.

Tu peux par exemple montrer que y = arcsin x= pi/2 - arccos x...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

Bon si vous trouvez ça chiant mais voulez quand même me rendre service, avez vous une méthode pour prouver que arcsin+arccos = pi/2, une méthode autre que en utilisant la dérivée de la fonction h = arcsin + arccos.

On pose a=arcsin x et b=pi/2-arccos x

Or, sin a = x
sin b = sin(pi/2-arccos x)=cos(arccos x)= x
Donc: sin a = sin b
Comme a est dans ]-pi/2 ; pi/2[ et b dans ]-pi/2; pi/2[ , on verifie ensuite que a et b se trouvent ds le meme cadran (selon les valeurs de x entre -1 et 0 ; entre 0 et 1 ) , donc sont egaux.

[invited5b2473a]

On pose a=arcsin x et b=pi/2-arccos x

Or, sin a = x
sin b = sin(pi/2-arccos x)=cos(arccos x)= x
Donc: sin a = sin b
Comme a est dans ]-pi/2 ; pi/2[ et b dans ]-pi/2; pi/2[ , on verifie ensuite que a et b se trouvent ds le meme cadran (selon les valeurs de x entre -1 et 0 ; entre 0 et 1 ) , donc sont egaux.

Chut. Faut pas dire tout de suite la solution.