Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

le résultat de cette intégrale:



me semble bien simple... Mais je n'ai pas envi de le calculer. Quelqu'un a une bonne table ou une technique rapide?

La réponse doit être quelque chose comme un multiple de la constante dans l'exponentielle... (peut-être multipli par n!, il me semble que j'ai déjà résout cette intégrale quand j'étais petit )

Que je suis lâche...

Merci, et ne la résolvez pas pour moi, mais j'aimerais bien trouver une bonne table d'intégrale sur le web, si quelqu'un en connait une (j'ai regardé mais elles se limitent presque toutes à une page...)

Merci!

Simon
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[invite6be2c7d9]

Tu intègres par rapport à t ou r ? Si c'est par rapport à r, avec du exp(-r^2) ça me paraît compromis pour avoir une primitive

[Bleyblue]

Et même par rapport à t le t du dénominateur fait peur

[invited9d78a37]

il existe ceci
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
mais il faut preciser ta variable d'integration

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef93ceb]

Bonsoir,

C'est r. ça veut dire dxdydz, c'est une intégrale triple sur tout l'espace.

Pour simplifier, on peut seulement remplacer par dx et r par x.

[invite8ef93ceb]

Je l'ai réécrit parce que je réalise que l'autre façon portait à confusion.

[invite8ef93ceb]

Pour simplifier, on peut seulement remplacer par dx et r par x.

Oups, et il faut changer l'exposant 3/2 en 1/2!!!

[invite6b1e2c2e]

Bonsoir,

Bon, je balance ce qui est probablement une connerie puisque personne ne l'a encore dit. Si on fait des intégrations par parties en r, on devrait pouvoir trouver des liens entre l'intégrale I_n et I{n-2}, et donc, selon la parité de n, on se ramène à I1 dont l'intégrale est claire, où à I0, dont le résultat est connu (Si vous ne vous en souvenez plus, ce qui est toujours mon cas (sqrt(pi/2) ?) élevez au carré, et faites un changement de coordonnées polaires, ça devrait redonner le résultat facilement)

Bon, maintenant, si personne n'y a pensé, c'est que j'ai du dire une bétise, alors dites la moi...

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rvz

[invite8b04eba7]

Salut !

Dans ce cas, c'est lie a certaines valeurs de la fonction Gamma, et je ne crois pas que l'on puisse donner de formule simple : il y a des Gamma(k+1/2) qui apparaissent apres un petit changement de variables (suivant la parite de n).

[Edit : d'ailleurs le calcul que propose rvz est celui des Gamma(k+1/2)]

[invite8ef93ceb]

Ouais... bon, mathematica me donne, pour x^n Exp[-x^2],
, et la définition de Gamma nous donne

.

J'imagine qu'avec un peut de patience, l'intégration par partie successive (avec la bonne idée de commencer par montrer que c'est nul pour n impair) nous permettrait de retrouver cette forme.

Merci pour votre aide,

Simon

[invite4ef352d8]

pour n impaire c'est la parité qui va faire que sa sera nul. (l'integral sur R d'une fonction impaire, si c'est definit c'est nul)

et sinon apres il faut faire une Ipp pour avoir la relation de recurence : tu derive le exp(-x^2), tu integre le x^n et tu passe de In a In+2.

(ou bien tu integre le x*exp(-x²) et derive le x^n-1 et tu passe de In a In-2)

[invite2fbe1c70]

Salut,

je sais pas si c'est juste, j'ai fait ça vite fait mais en se basant sur l'idée de rvz :

On pose

Puis, je présume que tu intègres entre et donc une intégration par partie te donne la relation

Tu connais facilement et et c'est gagné.

Ca marche ?

Ciao

[Bleyblue]

Bonsoir,

C'est r. ça veut dire dxdydz, c'est une intégrale triple sur tout l'espace.

Pour simplifier, on peut seulement remplacer par dx et r par x.

Oula je pensais que c'était une bête primitive (désolé )

[inviteaf1870ed]

Il me semble qu'on ne peut pas utiliser l'argument de la parité pour calculer I1, puisque r varie ici de 0 à +infini, et non de -infini à +infini.
Par contre sa valeur est facile à calculer : I1 = 1/2
Pour I0 c'est également un classique.

Il me semble également que la forme de cette intégrale incite à tenter de passer par une transformée, Laplace par exemple.