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Intégrale de la forme r^n exp(r^2)



  1. #1
    Lévesque

    Intégrale de la forme r^n exp(r^2)


    ------

    Bonjour,

    le résultat de cette intégrale:



    me semble bien simple... Mais je n'ai pas envi de le calculer. Quelqu'un a une bonne table ou une technique rapide?

    La réponse doit être quelque chose comme un multiple de la constante dans l'exponentielle... (peut-être multipli par n!, il me semble que j'ai déjà résout cette intégrale quand j'étais petit )

    Que je suis lâche...

    Merci, et ne la résolvez pas pour moi, mais j'aimerais bien trouver une bonne table d'intégrale sur le web, si quelqu'un en connait une (j'ai regardé mais elles se limitent presque toutes à une page...)

    Merci!

    Simon

    -----
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

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  3. #2
    Cyp

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Tu intègres par rapport à t ou r ? Si c'est par rapport à r, avec du exp(-r^2) ça me paraît compromis pour avoir une primitive
    Physics is like sex. Sure it may have some practical results, but that's not why we do it R. Feynman

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Et même par rapport à t le t du dénominateur fait peur

  5. #4
    chwebij

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    il existe ceci
    http://integrals.wolfram.com/index.jsp
    mais il faut preciser ta variable d'integration

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Lévesque

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Bonsoir,

    C'est r. ça veut dire dxdydz, c'est une intégrale triple sur tout l'espace.

    Pour simplifier, on peut seulement remplacer par dx et r par x.
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  8. #6
    Lévesque

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Citation Envoyé par Lévesque
    Je l'ai réécrit parce que je réalise que l'autre façon portait à confusion.
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

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  10. #7
    Lévesque

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Citation Envoyé par Lévesque
    Pour simplifier, on peut seulement remplacer par dx et r par x.
    Oups, et il faut changer l'exposant 3/2 en 1/2!!!
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  11. #8
    rvz

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Bonsoir,

    Bon, je balance ce qui est probablement une connerie puisque personne ne l'a encore dit. Si on fait des intégrations par parties en r, on devrait pouvoir trouver des liens entre l'intégrale I_n et I{n-2}, et donc, selon la parité de n, on se ramène à I1 dont l'intégrale est claire, où à I0, dont le résultat est connu (Si vous ne vous en souvenez plus, ce qui est toujours mon cas (sqrt(pi/2) ?) élevez au carré, et faites un changement de coordonnées polaires, ça devrait redonner le résultat facilement)

    Bon, maintenant, si personne n'y a pensé, c'est que j'ai du dire une bétise, alors dites la moi...

    __
    rvz

  12. #9
    doudache

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Salut !

    Dans ce cas, c'est lie a certaines valeurs de la fonction Gamma, et je ne crois pas que l'on puisse donner de formule simple : il y a des Gamma(k+1/2) qui apparaissent apres un petit changement de variables (suivant la parite de n).

    [Edit : d'ailleurs le calcul que propose rvz est celui des Gamma(k+1/2)]
    Dernière modification par doudache ; 07/07/2006 à 20h35.

  13. #10
    Lévesque

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Ouais... bon, mathematica me donne, pour x^n Exp[-x^2],
    , et la définition de Gamma nous donne

    .

    J'imagine qu'avec un peut de patience, l'intégration par partie successive (avec la bonne idée de commencer par montrer que c'est nul pour n impair) nous permettrait de retrouver cette forme.

    Merci pour votre aide,

    Simon
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  14. #11
    Ksilver

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    pour n impaire c'est la parité qui va faire que sa sera nul. (l'integral sur R d'une fonction impaire, si c'est definit c'est nul)

    et sinon apres il faut faire une Ipp pour avoir la relation de recurence : tu derive le exp(-x^2), tu integre le x^n et tu passe de In a In+2.

    (ou bien tu integre le x*exp(-x²) et derive le x^n-1 et tu passe de In a In-2)

  15. #12
    juvonet

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Salut,

    je sais pas si c'est juste, j'ai fait ça vite fait mais en se basant sur l'idée de rvz :

    On pose

    Puis, je présume que tu intègres entre et donc une intégration par partie te donne la relation

    Tu connais facilement et et c'est gagné.

    Ca marche ?

    Ciao

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Citation Envoyé par Lévesque
    Bonsoir,

    C'est r. ça veut dire dxdydz, c'est une intégrale triple sur tout l'espace.

    Pour simplifier, on peut seulement remplacer par dx et r par x.
    Oula je pensais que c'était une bête primitive (désolé )

  18. #14
    ericcc

    Re : Intégrale de la forme r^n exp(r^2)

    Il me semble qu'on ne peut pas utiliser l'argument de la parité pour calculer I1, puisque r varie ici de 0 à +infini, et non de -infini à +infini.
    Par contre sa valeur est facile à calculer : I1 = 1/2
    Pour I0 c'est également un classique.

    Il me semble également que la forme de cette intégrale incite à tenter de passer par une transformée, Laplace par exemple.

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