résoudre une intégrale de la forme exp^exp

[inviteb8843a7e]

Bon à tous,

je souhaiterais résoudre cette intégrale

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\int_0^\infty \! e^{-\frac{a}{b}e^{by}} \, dy.


par substitution $e^{by}=X$ \\
$ \Rightarrow e^{by}=X \Leftrightarrow y=\frac{lnX}{b}$ et $\frac{dy}{dX}=\frac{1}{bX}$

j'ai donc:

\int_1^\infty \! e^{-\frac{a}{b}X}\frac{1}{bX} \, dX.



que je peux reécrire comme $\frac{1}{b}
\int_1^\infty \! e^{-\frac{a}{b}X}\frac{1}{X} \, dX.$

je voudrais ensuite faire une intégration par partie, mais
je n'en vois pas la fin !

Help please

-----

[invite4ef352d8]

Salut !

désolé, mais le résultat ne s'exprime pas par des fonctions usuelle. donc tu ne trouvera rien que tu peux calculer à la fin. à la limite on peut exprimer ceci en terme de la fonction gamma incomplète...

PS : on "résout" une équation ou un problème, mais on "Calcule" une intégrale. "résoudre une intégral" ne veut pas dire grand chose...

[inviteb8843a7e]

Petit bug désolé , voici plus clairement mon message:

je souhaiterais résoudre cette intégrale


par substitution en posant

d'où

et


j'ai donc:





que je peux reécrire comme


je voudrais ensuite faire une intégration par partie, mais
je n'en vois pas la fin !

Help please

[invitec7c23c92]

Le résultat n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Regarde la définition de l'exponentielle intégrale :
http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html (je crois qu'il a la valeur numérique de ton intégrale) et
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral

[inviteb8843a7e]

OK, merci pour l'info...

sinon auriez-vous quelques références sur le sujet à propos
de ces "fonctions non-usuelles" si je peux m'exprimer ainsi?

[invite4ef352d8]

si tu parle des fonctions "exponentiel intégrale" alors je pense que les liens donnée par ericcc contiennent toutes les info utile (enfin... sauf peut-etre les meilleur algorithme de calcule numérique)

si tu parlent des fonction "non-usuel" en général, elles sont légion.

Wikipédia et mathworld sont de bonnes référence si tu connais déjà le nom des fonctions qui t'interesse.

les logiciel de calcule formel type "maple" (mathematica, et autre) les connaissent en général très bien : il les utilise spontanément pour calculer des intégral où des séries quand c'est possible, ils savent très bien les calculer numériquement et leur documentation contiens pas mal de renseignement utile sur ces fonctions...

si tu veux une réferences "exhaustive" sur toutes les fonctions non usuelle il y à toujours le "Handbook of Mathematical Functions" qui contiens à peu près tout ce qu'on sait sur toutes les fonctions spécial classique (il y en a des centaines). mais c'est pas non plus une lecture pationante ^^

[inviteb8843a7e]

si tu parle des fonctions "exponentiel intégrale" alors je pense que les liens donnée par ericcc contiennent toutes les info utile (enfin... sauf peut-etre les meilleur algorithme de calcule numérique)

si tu parlent des fonction "non-usuel" en général, elles sont légion.

Wikipédia et mathworld sont de bonnes référence si tu connais déjà le nom des fonctions qui t'interesse.

les logiciel de calcule formel type "maple" (mathematica, et autre) les connaissent en général très bien : il les utilise spontanément pour calculer des intégral où des séries quand c'est possible, ils savent très bien les calculer numériquement et leur documentation contiens pas mal de renseignement utile sur ces fonctions...

si tu veux une réferences "exhaustive" sur toutes les fonctions non usuelle il y à toujours le "Handbook of Mathematical Functions" qui contiens à peu près tout ce qu'on sait sur toutes les fonctions spécial classique (il y en a des centaines). mais c'est pas non plus une lecture pationante ^^

Merci pour les tuyaux.

Effectivement, hormis la doc sur le sujet j'essaie justement au passage de calculer cette intégrale, et d'autre, via "R".
Encore merci, pour Mathworld, je découvre et ça à l'air très bien fait

[ansset]

juste une remarque, mais c'est un detail
attention au signe de b
si b est négatif
après changement de variable
ce n'est plus l'intégrale entre ( 1 et + l'inf ) mais entre ( 1 et 0 )

[inviteb8843a7e]

juste une remarque, mais c'est un detail
attention au signe de b
si b est négatif
après changement de variable
ce n'est plus l'intégrale entre ( 1 et + l'inf ) mais entre ( 1 et 0 )

Oui effectivement,

justement je dois traiter les deux cas.

Au passage, j'ai finalement résolu mon problème en programmant sur R. Si cela intéresse quelqu'un au passage, je peux transmettre mon programme

[invite06622527]

Bonjour,

Ainsi que cela a été dit, l'intégrale ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions usuelles. Mais on peut l'exprimer soit avec une série infinie, soit avec la fonction spéciale Ei(x) :
= (1/b)*Ei(X) avec X=-(a/b)*exp(b*x)
et bien entendu, on sait faire le calcul numérique correspondant.
Généralement, il n'y a pas de différence de nature entre une fonction dite "usuelle" et une fonction dite "spéciale" : ce n'est qu'une distinction conventionnelle entre niveaux d'enseignement de ces fonctions.
Par exemple, un petit article de vulgarisation à ce sujet :
"Safari au pays des fonctions spéciales", par le lien suivant :
http://www.scribd.com/people/documen...575-jjacquelin