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Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[



  1. #1
    azerty_nath

    Lightbulb Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[


    ------

    Comment le montrer? Autrement dis, commenet montrer que pour gamme dans ]0,1[ cos(n^gamma) diverge? Si vous avez une réponse vous pouvez m'aider. Je suis 5/2 en mp.

    -----

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  3. #2
    Seirios

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Tu veux montrer que la suite diverge ? Il te suffit de trouver deux sous-suites convergeant vers des limites différentes.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    azerty_nath

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Pas exactement, il s'agit de cos(n^gamma).
    J'avais pensé a ca mais je ne trouve pas d'extraction satisfaisante

  5. #4
    Seirios

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Une erreur de manipulation, désolé...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    azerty_nath

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Ah ok. Tu as une idée pour la sous suite convergente?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Tu peux considérer par exemple, et .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    azerty_nath

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Ce ne sont pas des extractions de N sur N ca si?? Il faudrai de la forme cos (sigma(n)^gamma) avec sigma:N=>N

  11. #8
    martini_bird

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Salut,

    une piste : considérer le problème sur le cercle unité. La convergence impliquerait en effet que l'angle converge vers un angle limite (modulo ). Reste à trouver une contradiction...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    Ksilver

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Salut !

    le cas 0<gamma<1 est assez simple du fait que (n+1)^gamma - n^gamma tend vers 0 quand n->l'infinie

    sachant cela, tu peux prouver très facilement que exp(i.n^gamma) est dense dans le cercle :

    c'est un peu fastidieux, mais très simple : tu prend un petit ouvert du cercle, tu considère un n tel que (n+1)^gamma - n^gamma devient plus petit que que la longeur de l'ouvert * (une constante bien choisit lié au variations de exp(ix) ) à partir de là comme (vulgairement) exp(i.n^gamma) va continuer à "tourner au tour du cercle" en "faisant des bonds moins large que ton ouvert" inevitablement tu va retomber dedans.

    on remarquera que le cas gamma=1 est plus complexe (enfin... il a pas l'air compliqué quand on le traite, mais il repose quand même sur l'irrationalité de Pi qui est pas complètement trivial) et le cas gamma>1 est encore beaucoup plus difficile

  13. #10
    azerty_nath

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Ah oui, je voit le "truc".
    Mais comment passer de :
    (n+1)^gamma-n^gamma<epsilon à e^ia
    Ou encore, comment introduire le cercle unité alors que l'on parlais de suite réelle. J'avais penser a dire que {restes de la division euclidienne de n^gamma par 2Pi,n€N}est dense dans [0,2Pi] (peux etre rinctroduire une classe d'equivalence) pour conclure. Mais je sais pas si ca va etre tres simple. A quelle constante faisait tu allusion Ksilver?

  14. #11
    MMu

    Re : Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

    Pour on suppose connu . Soit , donc il y a tel que
    Définissons la sous-suite entière (partie entière), donc
    Notons . On a donc il existe tel que
    Il résulte donc , donc est dense dans.
    Pour c'est plus compliqué, mais la non-convergence de est immédiate puisque

    La convergence impliquerait ce qui est impossible

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