Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

invite06ebbc3f · 23/09/2010, 20h22

Comment le montrer? Autrement dis, commenet montrer que pour gamme dans ]0,1[ cos(n^gamma) diverge? Si vous avez une réponse vous pouvez m'aider. Je suis 5/2 en mp.

**Seirios** · 24/09/2010, 13h33

Tu veux montrer que la suite $\text{[math]}$ diverge ? Il te suffit de trouver deux sous-suites convergeant vers des limites différentes.

invite06ebbc3f · 24/09/2010, 16h10

Pas exactement, il s'agit de cos(n^gamma).
J'avais pensé a ca mais je ne trouve pas d'extraction satisfaisante

**Seirios** · 24/09/2010, 16h13

Une erreur de manipulation, désolé...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite06ebbc3f · 24/09/2010, 16h15

Ah ok. Tu as une idée pour la sous suite convergente?

**Seirios** · 24/09/2010, 16h18

Tu peux considérer par exemple, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invite06ebbc3f · 24/09/2010, 16h21

Ce ne sont pas des extractions de N sur N ca si?? Il faudrai de la forme cos (sigma(n)^gamma) avec sigma:N=>N

**martini_bird** · 24/09/2010, 17h07

Salut,

une piste : considérer le problème sur le cercle unité. La convergence impliquerait en effet que l'angle $\text{[math]}$ converge vers un angle limite $\text{[math]}$ (modulo $\text{[math]}$ ). Reste à trouver une contradiction...

Cordialement.

invite4ef352d8 · 24/09/2010, 17h21

Salut !

le cas 0<gamma<1 est assez simple du fait que (n+1)^gamma - n^gamma tend vers 0 quand n->l'infinie

sachant cela, tu peux prouver très facilement que exp(i.n^gamma) est dense dans le cercle :

c'est un peu fastidieux, mais très simple : tu prend un petit ouvert du cercle, tu considère un n tel que (n+1)^gamma - n^gamma devient plus petit que que la longeur de l'ouvert * (une constante bien choisit lié au variations de exp(ix) ) à partir de là comme (vulgairement) exp(i.n^gamma) va continuer à "tourner au tour du cercle" en "faisant des bonds moins large que ton ouvert" inevitablement tu va retomber dedans.

on remarquera que le cas gamma=1 est plus complexe (enfin... il a pas l'air compliqué quand on le traite, mais il repose quand même sur l'irrationalité de Pi qui est pas complètement trivial) et le cas gamma>1 est encore beaucoup plus difficile

invite06ebbc3f · 24/09/2010, 18h17

Ah oui, je voit le "truc".
Mais comment passer de :
(n+1)^gamma-n^gamma<epsilon à e^ia
Ou encore, comment introduire le cercle unité alors que l'on parlais de suite réelle. J'avais penser a dire que {restes de la division euclidienne de n^gamma par 2Pi,n€N}est dense dans [0,2Pi] (peux etre rinctroduire une classe d'equivalence) pour conclure. Mais je sais pas si ca va etre tres simple. A quelle constante faisait tu allusion Ksilver?

**MMu** · 27/09/2010, 05h37

Pour $\text{[math]}$ on suppose connu $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ , donc il y a $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Définissons la sous-suite entière $\text{[math]}$ (partie entière), donc $\text{[math]}$
Notons $\text{[math]}$ . On a $\text{[math]}$ donc il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Il résulte $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ .
Pour $\text{[math]}$ c'est plus compliqué, mais la non-convergence de $\text{[math]}$ est immédiate puisque
$\text{[math]}$
La convergence impliquerait $\text{[math]}$ ce qui est impossible

Non convergence de exp(i*n^gamma) , gamma €]0;1[

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