Bonjour à tous.

Voici un "petit exercice" que je viens de concocter, je vous donnerai ma solution plus tard, ça me permettra de jauger sa validité et sa pertinence (mais d'ici là, je suppose que quelqu'un aura trouvé beaucoup plus simple...).

On pose :



Soit une fonction réelle définie sur , non constante, et telle que pour tous réels et , on ait :



1. Montrer que vérifie également la formule de soustraction :



2. On suppose de plus que est à valeurs positives ou nulles sur l'intervalle .

Montrer que est deux fois dérivable et vérifie le problème de Cauchy du sinus en :





Toute solution utilisant les sinus et cosinus classiques m'intéresse, mais sachez que la mienne n'y fait pas référence (autrement dit, ma solution n'a aucun prérequis utilisant Cauchy-Lipschitz ou les sommes de séries entières).

Amusez-vous bien !

Taar.