bonjour tout le monde.
Je cherche la demo suivante : tout ouvert d'un espace polonais (espace topologique induite par une distance d qui est complet) est un espace polonais.
Avez-vous une idée pour montrer ceci ou un livre qui pourrait le démontrer? merci d'avance.
Appliqué à [0 1] et ]0 1[, ça donne quoi?
PV-> Justement ]0,1[ est bien polonais d'apres la définition qu'il donne...
Je pense que ca doit etre fait dans un bourbaki de topologie...
Je sais meme pas si c'est difficile, tu viens de m'apprendre la defintion d'un espace polonais (je savais que ca existait mais j'avais jamais cherché ce que c'etait).
Je ne comprends pas : la distance n'est alors pas la distance induite pas l'espace ambiant ?Envoyé par Therodre
Car sinon 1/n est de Cauchy et ne converge pas dans ]0,1[.
Bon effectivement apres y avoir reflechi un peu plus (et pris un stylo!) je pense avoir une démonstration.
Prend X un espace polonais et on le munit de la metrique qui engendre la topologie, pour laquelle il est complet.
Prends U un ouvert de X et F son complementaire, il est tautologique que F est polonais.
Considère d, la fonction distance a F, (d(x)=d(x,F)), alors U est exactement l'imae reciproque par d de ]0,+oo[.
Maintenant XxR est aussi complet (donc polonais) pour la distance produit.
Regarde la dedans les couples (x,y), tels que d(x)y=1, c'est bien sur un fermé (donc un polonais)
Et ce fermé est homéo a U, parce que les x qui sont dans U sont pile poils ceux ou on peut diviser par d(x), vu que c'est non nul.
Tu as un homéo evident qui est (x,y)->x dont la reciproque est x->(x,1/d(x))
Justement non!
La définition est topologique et pas métrique! On induit la topologie ce qui est beaucoup moins fort que d'induire la distance.
Pour la topologie induite ]0,1[ c'est homéo a R (avec sa topologie naturelle) (par l'arctan avec des correctif pour avoir le bon domaine de definition par exemple) et R c'est complet pour la distance naturelle qui est bien celle qui engendre la topologie naturelle de R.
Merci pour cette explication ! ... jamais fait de topo générale, donc evidemment, je suis un peu à côté de la plaque
Bien vu. C'est effectivement le style a être traité dans le Bourbaki.
En fait une autre manière de reformuler la definition serait de dire, un espace polonais est un espace topologique homoéomorphe a un espace métrique complet. Et là on voit mieux la subtilité.
merci pour votre réponse et merci Therodre pour la démo. Mais la question sur la topo induite m'as interpellé alors juste pour être sur si j'ai bien compris, si X est un espace polonais et U ouvert de X alors U est un espace polonais avec la topologie induite? et cette topo peut être induite par une certaine distance qui n'est pas forcement la même que celle de X... C'est vrai qu'au début, je pensais que la distance était la même mais c'est vrai qu'en réfléchissant, il n'y avait aucun lien...
Oui bien sur!
On induit juste la topologie, pas la distance, et ensuite on regarde si cette topologie peut provenir d'une distance pour laquelle l'espace est complet.
Sinon, il n'y aurait aucune difference entre espace polonais et espace complet (et un ouvert d'un espace complet n'est certainement pas complet).
La subtilié vient du fait que 2 métriques peuvent induire la meme topologie, et pourtant l'une peut etre complete et l'autre non.
en fait si j'ai X un espace polonais et f une application bijective de X vers un ensemble Y, je peux trouver une métrique sur Y (qui rend cette espace complet? et mon application f devient un homéomorphisme où la topo sur Y est celle induite par
Et donc, si t'as X un espace polonais et un espace topologique Y qui sont homéo pour leur topo respectives fixée, alors Y est polonais pour sa topologie mais la distance correspondante est celle induite comme ci-dessus? ou elle n'a rien avoir...
quand je dis distance induite, je parle de la distance construite avec l'application bijective
Ce que tu dis est vrai, mais tu peux prendre Y un espace topologique et pas juste un ensemble. Mais bon, ce que tu dis est correct.
Je vais te donner une définition plus catégoriste, j'espere qu'elle t'eclairera.
Tu prends X un espace topologique, et tu regarde l'ensemble (dsl pour les logiciens) de tous les espaces Y topologiques qui sont homéo a X, si dans cet espace tu as un métrique complet, alors X est polonais. (du coup ton probleme devient evident).
Mais la nationalité polonaise d'un espace est avant tout (enfin je ne suis pas du tout topologue ou analyste fonctionnel, donc si un specialiste peut confirmer) une notion topologique, c'est la topologie qui compte, et pour chaque espace topologique polonais tu as une métrique d, qui fasse de ton espace un espace complet, mais cette métrique n'est pas fonctorielle.
par contre, si X est un espace polonais et que F est un fermé alors F est polonais pour la même distance que X (vu que tt suite convergente, convergera ds F)
Pour la distance induite si tu veux, mais il faut bien comprendre qu'un espace polonais, n'a pas de métrique canonique. Il en existe une pour lequel il est complet, mais parler de "sa" metrique n'a pas grand sens, il n'a pas de métrique.
Donc si tu as F un fermé de X, et que tu as une métrique qui rende X complet, alors oui elle rendra F complet (c'est pour cela que F est aussi polonais).
ok, j'ai bien compris, merci pour tous ces détails qui m'ont été d'une grande aide.
Bonjour.
Si
J'avais appris ça sur un livre de topologie pour la licence, comme quoi les Bourbaki n'ont pas le monopole des belles mathématiques ...
En relisant un peu mieux le sujet, je viens de m'apercevoir que Therodre avait donné la correction. Désolé pour le doublon ...
En passant, dans la définition d'un espace polonais, on exige souvent que l'espace soit aussi séparable.
ah intéressant ca comme distance, c'est une autre approche pour le démontrer.
Mais vu que mon espace est métrique (vu que je définis une distance dessus) il est toujours séparé... no?
enfin si j'ai un espace topologique, s'il est pas séparé, je suis sur de jamais trouver une distance qui l'induit... mais si je trouve un distance qui l'induit, je suis sur qu'il est alors séparé, donc je pense pas qu'il faut rajouter cette hypothèse.. si? c'est vrai que j'ai déjà lu des livres qui l'ajoutait mais je n'en voyais pas l'intérêt...
Séparé et séparable sont deux notions différentes.
Séparable signifie que l'espace possède une partie dénombrable dense.
autant pour moi... dsl, je me suis trompé, j'ai confondu
