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Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière



  1. #1
    MS.11

    Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière


    ------

    Bonsoir,

    J'ai un souci avec la solution particulière de l'équation différentielle ci-dessous :



    ou en divisant par :



    La solution particulière est censée être de la forme (c'est le prof qui l'a dit) :



    Pour trouver la solution particulière, je calcule les dérivées premières et seconde de cette fonction et je substitue dans l'équation différetielle. Et là, on me dit que je dois trouver le système suivant :




    Désolé je ne sais plus faire l'acollade, ni écrire en indice...

    Bon ce qui me gène c'est que je vois mal comment passer d'une équation à deux, et ce qui me gène encore plus, c'est qu'après calcul je ne trouve pas quelque chose de très ressemblant.

    Je vous donne mes dérivées et mon équation après substitution :





    ce qui nous donne après simplification:



    Voilà mon souci... J'ai refait plusieurs fois ce calcul, et tombe sur le même résultat, et je serais rassurée si un âme généreuse pouvait me dire s'ils sont justes, ou si erreur il y a, si elle est à la dérivée première (ce qui fausse tout le reste), à la dérivée seconde (ce qui fausse le reste aussi) ou à l'addition demes fonctions (ce qui ne fausse rien d'autre que le résultat mais m'inciterait à retourner au lycée). Enfin si ceci est juste, je ne vois pas comment obtenir le système désiré.

    Merci d'avance pour vos réponses.

    PS: Même si j'ai déjà posé beaucoup de question, pouvez-vous me rappeler comment on écrit en indice en Latex ? Et comment on me l'acollade du système ?

    -----
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

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  3. #2
    SchliesseB

    Re : Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière

    pour la méthode de variations DES constantes, on ne dérive pas la première fois. La raison vient de ton cours (on a une éq. de degré 2 qu'on écrit comme une éq. de degré 1 matricielle et la solution est un vecteur X à deux composante y et y').

    ainsi quand on pose:


    on doit poser en même temps:



    (regarde dans ton cours la méthode de variations des constantes, il ne fait aussi peut être pas comme ça mais l'idée est là).

  4. #3
    invite06622527

    Re : Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière

    Bonjour MS.11,
    ton calcul est correct, mais incomplet.
    Il s'agit, en fait, de la méthode "de variation de la constante"), bien connue pour le premier ordre et qui est étendue ici au second ordre, donc avec deux constantes remplacées par les fonctions u1(x) et u2(x). Les relations utilisées en résultent (page jointe)
    Images attachées Images attachées  

  5. #4
    MS.11

    Re : Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière

    D'abord merci pour vos réponses.

    Je pense avoir à peu près compris... Par contre, je n'ai pas de cours là dessus, donc je chercherai sur internet la variation des constantes pour l'ordre 2. Mais en fait SchliesseB, quand on pose y' comme vous me l'avez dit, ça m'a l'air totalement équivalent à dire que u'1 et u'2 sont nulles... Donc u1 et u2 constantes ? Arf...

    JJacquelin, merci pour le lien, il me manquait effectivement une ligne de calcul ! Mais je n'arrive pas à retrouver le système que mon prof m'a demandé... Et qui conduit à la même soltuion particulière qui est -2ln(x) ( je crois qu'il y a une erreur de calcul en toute fin de page, mais bon, ca ne change rien parce qu'on multiplie par une constante).

    Aujourd'hui en cours, on a vu les "singular points" et "ordinary points", ce qui doit être en français, points ordinaires et singuliers. Peut-être que je dois me servir de ça ? Mais là encore, je n'y arrive pas bien...
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite06622527

    Re : Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière

    En effet, à la fin, il est évident qu'il manque un signe moins.
    La solution particulière est -ln(x²)
    Remarque : il est préférable de conserver (x²) dans le logarithme tant que cela reste possible. Si non, il faudrait écrire 2*ln(abs(x)) pour que la solution continue à être valide pour x<0.

  8. #6
    SchliesseB

    Re : Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière

    Citation Envoyé par MS.11 Voir le message
    ça m'a l'air totalement équivalent à dire que u'1 et u'2 sont nulles... Donc u1 et u2 constantes ? Arf...
    non, ça conduit bien à une condition sur u'1 et u'2 qui est justement la première ligne du système que vous devez trouver (posté dans le message1)

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  10. #7
    MS.11

    Re : Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière

    Merci pour vos deux réponses.

    Effectivement, c'est mieux de laisser le carré dans le logarithme. Je le dirai au prof d'ailleurs, s'il n'a pas défini son équation sur IR+

    Je viens de trouver l'équation 1. Je regarderai si j'arrive à établir la seconde. Sinon je reviendrai vous appeler au secours, mais j'ai bon espoir ! ( J'ai emprunté un gros pavé sur les équations différentielles, linéaires, non-linéaires, aux dérivées partielles, enfin la totale, j'espère qu'il m'aidera!)

    Encore merci de m'avoir consacré du temps !
    "Les pierres qui émergent permettent de traverser le cours d'eau. "

  11. #8
    hoparo

    Re : Equation différentielle d'ordre 2- Solution particulière

    bonjour j'ai une equation a resoudre:
    (x+6)(y-4)=180
    x.y=180

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