question pour inéquation

[Bagnolet]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait t'il m'aidé, j'aimerais savoir si cette inéquation est vrai

q^2/n^3<=(q+1)/n^2 ou n et q sont des entiers tels que n>=q>0

en faisant quelques opérations on trouve
cela équivaut à résoudre

q^2-qn-n<=0
comment résoudre cette inéquation,
y a t'il une autre manière que de passé par le déterminant d'une équation du second degré?

j'ai une petite idée en posant une suite Uq et fixé n puis une suite Un et fixé q.

(pour information il s'agit de l'exercice n°5 chapitre borne supérieure, du livre analyse 1ere année de liret martinais)
Merci d'avance.
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[God's Breath]

On considère l'équation qui admet deux racines puisque de discriminant .
On sait que dans l'intervalle limité par ces racines.
Or l'inéquation est satisfaite pour et pour , puisqu'elle se réduit alors à ; donc elle est satisfaite sur tout l'intervalle .

[Bagnolet]

Merci,

D’accord, le raisonnement qu’il fallait tenir c’est comme l’inéquation est vrai pour x=0 et x=n, c’est que l’intervalle tout entier vérifie l’inéquation [0,n]. Mais alors est-on sur d’avoir l’intégralité de l’intervalle ou l’inéquation est vérifiée ?

Oui, car pour x=n l’inéquation est vérifié, pour x=n+1 elle ne l’est plus. Donc n est en effet le plus petit entier telle que l’inéquation soi vérifié.

Mais comment avez-vous fait pour trouvé cette entier n ?
Je sais que l’inéquation est vérifié entre les racine donc entre x1=(n-sqrt(n^2+4n))/2 et x2=(n+sqrt(n^2+4n))/2
(ici on travaille sur les entiers positifs) donc la première solution ne nous intéresse pas. L’inéquation est vérifié sur [0, (n+sqrt(n^2+4n))/2]. Comment trouve n ?

J’espère que mes propos sont cohérents.

[God's Breath]

Je n'ai pas «trouvé» l'entier n, il m'est fourni par l'énoncé : on veut avoir l'inégalité pour q compris entre 0 et n, donc je regarde si l'inégalité est satisfaite par 0 et par n, c'est suffisant. On pourrait même se passer du discriminant, le seul fait que l'on trouve des valeurs négatives pour le trinôme prouve qu'il admet deux racines.

[A voir en vidéo sur Futura]