diagonalisation, espace vectoriel

[invite6ba6f6b8]

Bonjour a tous,

J'ai besoin d'aide pour resoudre cet exercice.

(1) soit M une matrice a coefficients complexes verifiant M^k=I (M puissance k) pour un certain entier positif k. Montrer que M est diagonalisable.

(2) soit u un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel reel E verifiant u^k=IdE pour un certain entier positif k. Montrer que u^2=IdE.

(3) Soit u un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel E. Montrer que E= ker(u)(+)u(E).
(+): somme directe.

Merci beaucoup.
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[Médiat]

Bonjour,

Et si vous commenciez par nous montrer ce que vous avez fait, histoire de nous motiver, et pour que nous n'ayons pas l'impression de faire vos devoirs à votre place ...

[invite6ba6f6b8]

Bonjour Mediat,

J'ai reflechi pour k=2.
A^2=I est equivalent a (A^2-I)=0
ce qui est equivalent a (A-I)(A+I)=0

Donc on a 2 racines simples. d'où A est diagonalisable.

Mais je n'arrive pas a généraliser pour k>=2.

Merci.

[Thorin]

Salut,
que peut-on dire d'une matrice annulée par un polynôme scindé à racines simples ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ba6f6b8]

Bonjour Thorin,

Lorsqu'un polynôme caractéristique s'annule en des racines distincte, on peut déduire que la matrice est diagonalisable.