Bonjour, j'ai dû mal à résoudre ces exercices:
Exercice 1
On se place l'espace vectoriel des fonctions numériques d'une variable réelle:
E=F(R,R)
1) Montrer que l'ensemble F des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à
deux est un sous espace vectoriel de E et donner une base et sa dimension.
2) Montrer que l'application © qui a la fonction f(x) = ax^2 + bx + c associe la
fonction ©(f)(x) = 2ax + b est un endomorphisme de F.
3) Donner la matrice de © dans la base {1, x, x^2}.
4) Donner le noyau et l'image de ©.
Exercice 2
On se place encore dans l'espace vectoriel des fonctions numériques d'une variable réelle:
E=F(R,R)
On désigne par F le sous ensemble de E constitue des fonctions numériques deux fois dérivables et vérifiant la propriété:
pour tout x appartient à R, 4f''(z) - 4f'(x) + f(z) = 0
1) Démontrer que F est un sous espace vectoriel de E.
2) Soit a un nombre réel, démontrer que la fonction qui à z associe e^ax appartient à F si et seulement si a = 1/2
3) Soit f une fonction numérique deux fois dérivable. Démontrer que f appartient
à F si et seulement si la fonction g définie pour tout z par g(x) = e^-x/2f(x)
vérifie pour tout x g''(x) = 0.
4) Déduire de la question précédente que l'ensemble F est l'ensemble des fonctions
fa,b tel que pour tout x, fa,b(x) = (ax + b)e^x/2.
5) En déduire que F est un plan vectoriel de E et en donner une base.
Merci d'avance de votre aide
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