Convexité d'une fonction

[invite323995a2]

Bonjour à tous,

Quand x=0 f(x)=1
Quand x>0 f(x)= ln(1+x) / x

On pose B(x)= -[(3x²+2x)/ (1+x)²] + 2ln(1+x)

(a) Montrer que f est deux fois dérivable sur ]0,+ l'infini[ et que f''(x)= B(x)/x^3.

Pour prouver qu'elle est deux fois dérivable je ne sais pas trop comment me servir du taux d'accroissement (qu'elle est dérivable j'y arrive, mais deux fois non) et la dérivée seconde quand je calcule je tombe sur du -x^3 / (1+x)² - 2x²/(1+x) -2xln(1+x).

(b) Dresser le tableau de variation de B. En déduire que f est convexe sur ]0,+l'infini[.

Le simple calcul de la dérivée de B permet-elle ici de trouver les variation de B? Parce je tombe sur un tableau de variation qui ne me permet pas de conclure quelque chose sur la convexité.


Merci beaucoup d'avance.

La simple dérivée de B permet elle ici
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[invite9a322bed]

Pour montrer que B est dérivable remarque que :

B est une somme de deux fonctions infiniment dérivables qui sont :
la première une fonction rationnelle (en gros fraction de deux polynômes)
et l'autre logarithmique (le domaine de définition est correcte en plus.)

Je te conseille vivement de cherche quelle est la dérivé du .

Bonne journée

[invite323995a2]

Mais c'est f qui m'intéresse . Comment prouver qu'elle est deux fois dérivable? B je dois étudier ses variations et non pas prouver qu'elle est deux fois dérivable

[invite9a322bed]

Ok, faut voir f comme produit de deux fonctions de classe C infini qui sont ln(1+x) et 1/x . ça découle directement de la formule de Leibniz pour la dérivé n ieme d'un produit.

Généralement :

Si on a f=g*h, h dérivable n fois, g aussi, alors f dérivable n fois.
Si on a f=g/h, g dérivable n fois, h aussi et ne s'annule pas dans l'intervalle I alors f dérivable dans I n fois.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite91b87222]

Bonsoir millionsdollar jai un probleme sur un exercice que tu as fait il ya un peu de temp peut tu maider Greg92_1@hotmail.fr