salut à tous,
mon probléme est le suivant;
si on suppose que P est un plan engendré pas e1=(2,1,0,2)
et e2=(-4,1,0,-1) dans R^4 avec Sp la symétrie orthogonale par
rapport à vect(e1,e2)=P .
le probléme c'est comment (la méthode) détermine la matrice de cette symétrie dans la base canonique?
Merci
Si on connait la forme de la matrice B de l'application linéaire dans une base bien choisie alors on peut utiliser la formule de changement de base: A = P B P^-1. Pour la base bien choisie: on construit une base de vecteurs de R^4 u1,u2,u3,u4 avec u1,u2 dans le plan, et u3,u4 dans l'orthogonal au plan. Pour u1 et u2 c'est facile on les donne déjà: u1=(2,1,0,2) et u2=(-4,1,0,-1). Pour u3 et u4 on résoud le système (avec le produit scalaire): u3.(a,b,c,d)=0 et u4 .(a,b,c,d)= 0 car u3 et u4 doivent être orthogonaux au plan. Ca donne le système: 2a+b+2d=0 et -4a+b-d=0.
Ensuite: l'application symétrie orthogonale f fait en sorte que, pour tout vecteur v=v1 + v2 de R^4 avec v1 dans le plan et v2 dans l'orthogonal au plan, f(v)=f(v1+v2)=v1-v2 car f inverse le signe de la composante de v qui est dans l'orthogonal au plan. Donc, dans la base u1,u2,u3,u4, la matrice de f sera
Les 2 premières colonnes correspondent aux vecteurs u1,u2 et les autres à u3 et u4.
Finalement on met u1,u2,u3,u4 dans les colonnes 1 à 4 (dans cet ordre, c'est important) de la matrice de passage P et on fait A = P B P^-1.
On peut vérifier que Bu1=u1, Bu2=u2, Bu3=-u3 et Bu4=-u4; det(A)=1; A^2 = Identité
j'ai trouvé une base orthonormé aprés detérmine u3 et u4
on utilise le procéde de gram-scmidth la base que j ai trouvé est le suivant: u1=(2/3,1/3,0,2/3)
u2=(-2/3,2/3,0,1/3)
u3=(1/5,2/5,-4/5,-2/5)
u4=(4/15,8/15,9/15,-8/15)
c'est une base orthonormé de R^4
Merci Pour la méthode j ai compris maintenant comment le faireEnvoyé par sylvainc2
Si on connait la forme de la matrice B de l'application linéaire dans une base bien choisie alors on peut utiliser la formule de changement de base: A = P B P^-1. Pour la base bien choisie: on construit une base de vecteurs de R^4 u1,u2,u3,u4 avec u1,u2 dans le plan, et u3,u4 dans l'orthogonal au plan. Pour u1 et u2 c'est facile on les donne déjà: u1=(2,1,0,2) et u2=(-4,1,0,-1). Pour u3 et u4 on résoud le système (avec le produit scalaire): u3.(a,b,c,d)=0 et u4 .(a,b,c,d)= 0 car u3 et u4 doivent être orthogonaux au plan. Ca donne le système: 2a+b+2d=0 et -4a+b-d=0.
Ensuite: l'application symétrie orthogonale f fait en sorte que, pour tout vecteur v=v1 + v2 de R^4 avec v1 dans le plan et v2 dans l'orthogonal au plan, f(v)=f(v1+v2)=v1-v2 car f inverse le signe de la composante de v qui est dans l'orthogonal au plan. Donc, dans la base u1,u2,u3,u4, la matrice de f sera
Les 2 premières colonnes correspondent aux vecteurs u1,u2 et les autres à u3 et u4.
Finalement on met u1,u2,u3,u4 dans les colonnes 1 à 4 (dans cet ordre, c'est important) de la matrice de passage P et on fait A = P B P^-1.
On peut vérifier que Bu1=u1, Bu2=u2, Bu3=-u3 et Bu4=-u4; det(A)=1; A^2 = Identité
mes salutations distingués.
