probalbilité évenement rare

[invitebffe8845]

Bonjour,

Voila j'ai besoin d'un peu d'aide pour un exercice de statistique.
J’ai un lot de 1 000 000 de pièces sur cette ensemble on contrôle 1 pièce sur 2.
Nous savons que sur cet ensemble nous avons 10 pièces mauvaises.
Je dois calculer la probabilité de laisser passer des pièces mauvaise lors de ce contrôle à 50%.

J’ai essayé le calcul avec une loi hypergéométrique et une loi de poisson, mais je n’arrive pas à déterminer un résultat.

Pouvez-vous me renseigner sur comment traiter ce sujet.

Merci
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[invite986312212]

bonjour,

il y a plusieurs façons d'aborder ce problème, selon que l'on fait ou ne fait pas certaines approximations.

- tu peux voir ça dans le cadre du processus de Poisson: tu numérotes tes pièces et tu les voies comme les nombres 1,2,...,1000000. Là dessus tu en choisis 10. C'est comme distribuer 10 marques sur le segment [0,1], la position des marques étant connue avec une précision de 1/1000000, et ça peut être vu comme une réalisation d'un processus de Poisson discrétisé de paramètre . Maintenant tu regardes les 500000 premières pièces (ou d'autres, ça ne change rien tant que c'est un choix a priori, i.e. sans savoir où sont les pièces marquées). La probabilité que le segment [0,0.5] ne contienne aucun point du processus est .

- tu peux utiliser la loi binomiale. Tu numérotes tes pièces de 1 à 1000000 et tu choisis de regarder les 500000 premières. Maintenant, chaque pièce peut être bonne ou mauvaise, et tu peux supposer que la probabilité d'être mauvaise est 10/1000000=1/100000 et que les pièces sont bonnes ou mauvaises indépendamment les unes des autres. C'est ce qu'on appelle tirage avec remise, et c'est une approximation ici parce que si le type des pièces est tiré au hasard de cette façon, tu n'auras pas en général exactement 10 pièces mauvaises. Le nombre de pièces mauvaises suit la loi binomiale de paramètres 1000000 et 1/100000. Sur les 500000 premières pièces, le nombre de pièces mauvaises suit la loi binomiale de paramètres 500000 et 1/100000. La probabilité d'observer 0 est alors (1-1/100000)^500000 = 0.006737779, soit à peu près la même chose que précédemment. Les valeurs numériques sont d'ailleurs approximatives, même si j'ai écrit "=".

- le calcul exact est plus compliqué mais faisable. Il faut utiliser la loi hypergéométrique.

[invitebffe8845]

Merci pour ta réponse et tes explications,

Si j'ai bien compris par exemple si le lot reste le même soit 1 000 000 et que cet fois on analyse 1 pièce sur 4 soit 25 % avec 50 pièces mauvaise dans le lot.

Le calcul serait : exp(-0,25*50)'=' 3,726E-06