Champs vectoriels de rotationnel nul et dérivant d'un potentiel

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai toujours cru qu'un champ vectoriel de rotationnel nul pouvait s'écrire comme le gradient d'un champ scalaire, mais j'ai vu une note sur un tableau qui semblait indiquer que ce n'était pas toujours le cas.

Auriez-vous quelques résultats/démonstrations sur le sujet ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitec317278e]

Salut,
il me semble qu'une telle affirmation est vraie à condition d'être sur un domaine ayant une propriété spéciale, mais je ne saurais plus dire quelle était cette propriété. Je pense qu'il s'agit d'être sur un ouvert étoilé, ou un connexe par arc, mais je n'en suis absolument pas sûr.

Désolé de servir à rien

[Arkhnor]

Bonsoir.

Si le domaine est étoilé c'est suffisant. (lemme de Poincaré)
En particulier, on a toujours l'existence locale.

[Seirios]

Une documentation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

En passant, j'ai aperçu sur wikipédia que sur un ouvert simplement connexe, il y a équivalence.

[Arkhnor]

Tu trouveras une preuve du lemme de Poincaré dans n'importe quel cours sur les formes différentielles. (de degré quelconque)

[Seirios]

Mais de manière générale, de quel côté dois-je chercher pour trouver des informations sur ma question initiale ?

[Arkhnor]

En passant, j'ai aperçu sur wikipédia que sur un ouvert simplement connexe, il y a équivalence.

Oui, tu as raison, on a aussi équivalence sur un ouvert simplement connexe, c'est à dire lorsqu'on peut déformer toute courbe fermée continument en restant dans l'ouvert. (on peut formaliser ça rigoureusement)
Là encore, tu peux trouver ça dans un cours sur les formes différentielles.

[Arkhnor]

Mais de manière générale, de quel côté dois-je chercher pour trouver des informations sur ma question initiale ?

La réponse à ta question initiale est fournie par le lemme de Poincaré. Toutes les opérations du style rotationnel et divergence peuvent s'interpréter en terme de différentiation extérieure sur les formes différentielles.

[Arkhnor]

Bon, dans le cas simple que tu mentionnes, on peut faire une preuve sans invoquer de grandes théories.

On suppose que est un ouvert de étoilé par rapport à .
On se donne un champ vectoriel , de classe , et de rotationnel nul.

On va définir une fonction de classe telle que .
On pose, pour , .
Le représente le produit scalaire usuel.
L'intégrale a un sens car est étoilé par rapport à .

Il n'y a plus qu'à vérifier que convient, ce que l'on fait en dérivant sous le signe intégrale.

Dans le cas où on suppose que l'ouvert est simplement connexe, c'est plus compliqué, et je te renvoie vers la littérature spécialisée.

[Seirios]

La réponse à ta question initiale est fournie par le lemme de Poincaré.

D'accord, je pensais qu'il s'agit d'un cas particulier de ma question. Je vais donc un peu approfondire ce point.

Une première question : la définition de forme différentielle semble changer d'un document à l'autre ; il s'agit toujours d'une application d'un ouvert U de dans , mais certains documents s'arrêtent là, d'autres ajoutent que est continue, et d'autres encore que est . Qu'en est-il vraiment ?

[Arkhnor]

Certains auteurs ne supposent même pas la continuité, mais seulement la mesurabilité ...
Ca dépend des auteurs, et des besoins ultérieurs, c'est-à-dire dans quel but on introduit les formes différentielles. S'il s'agit de faire de la topologie différentielle, on peut se contenter des formes lisses, mais dans d'autres contextes, en particulier en analyse, on peut autoriser des applications moins régulières.

Dans le fond, ça ne change rien, à partir du moment où on connait les hypothèses précises de chaque théorème, ça ne pose aucun problème.

Le théorème de Poincaré dit que si est un ouvert étoilé, et est une -forme de classe , avec et , telle que , alors il existe une -forme de classe telle que . (on dit que est exacte sur ). La preuve est une adaptation de celle que j'ai présenté plus haut, au moins dans le cas où .
En particulier, on voit que si est une -forme de classe sur , qui cette fois-ci est supposé être un ouvert quelconque, alors est fermée, c'est-à-dire qu'elle est localement exacte. (tout point de possède un voisinage sur lequel est exacte)

Dans le cas où , on peut considérablement améliorer ce résultat. D'une part, on peut supposer que l'ouvert est simplement connexe, ce qui est beaucoup mieux que étoilé. D'autre part, on peut s'affranchir de l'hypothèse de classe : on peut seulement supposer que est différentiable, sans donc supposer que la différentielle est continue. On peut retrouver ainsi l'un des principaux théorèmes sur les fonctions holomorphes : elles possèdent localement une primitive.
Evidemment, la preuve est beaucoup plus subtile.

Je ne sais pas dans quelle direction on peut généraliser (si c'est possible) le cas où .

[Seirios]

Voilà ce que j'ai fait pour mon problème :

Soit un champ vectoriel différentiable telle que . Notons ; alors et est différentiable.

Notons pour tout , , avec la projection sur la i-ème coordonnée de la base canonique. Alors forme une base de l'espace dual , et on peut écrire pour tout , , avec .

Soit la base canonique de ; alors , donc .

ayant un rotationnel nul, on a , c'est-à-dire que est fermée.

Donc pour tout , il existe un voisinage V de x (par exemple une boule de centre x) tel qu'il existe telle que .

C'est-à-dire que pour tout , , ou .

Ainsi, sur V : .

Cela vous paraît-il correct ?

[Arkhnor]

Je ne sais pas trop ce que tu appelles le rotationnel en dimension , mais en supposant que pour toi, est équivalent à pour tout , alors c'est correct.

Remarque quand même que est étoilé (par rapport à tous ses points, puisqu'il est convexe), et donc que tu peux prendre . En d'autres termes, si ton champ de vecteurs est défini sur , on a l'existence globale du potentiel.

Néanmoins, je te conseille de t'essayer à la preuve que je t'ai suggérée hier soir, c'est élémentaire.

Evidemment, pour que cette condition sur le domaine ne soit pas superflue dans le cas général, il nous faut un contre-exemple, lorsque le domaine n'est plus simplement connexe.
Pour , le champ vectoriel défini sur (qui n'est pas simplement connexe) par vérifie l'égalité pour les dérivées croisées, mais il n'existe pas de fonction définie sur tout entier dont le gradient soit donné par .
Ce contre-exemple est loin d'être anodin, et a pas mal de répercussions ...

[Seirios]

Néanmoins, je te conseille de t'essayer à la preuve que je t'ai suggérée hier soir, c'est élémentaire.

Je suis justement en train de regarder cette méthode.

Tu dis également que ce principe permet de démontrer le lemme de Poincaré (au moins pour p=0) ? (je n'ai pas trouvé grand chose de ce côté...)

[Arkhnor]

Oui, si est une 1-forme de classe sur étoilé par rapport à et vérifie , alors vérifie .

La formule est claire : on intégre le long du segment qui relie à .
Cette formule nous est imposée. (à une constante additive près)
En effet, si est , alors est égale à l'intégrale de le long de , d'après le théorème fondamental du calcul intégral.

Si tu te débrouilles bien, tu peux même trouver la formule intégrale lorsque est quelconque.
Une fois la formule trouvée, vérifier que la forme construite convient est un peu laborieux, mais c'est juste du calcul différentiel ...