Force dérivant d'un potentiel dépendant de la vitesse

[Seirios]

Bonjour à tous,

Lorsqu'une force dérive d'un potentiel U, on écrit .

Dans le cas où , on peut écrire , mais qu'en est-il lorsque ?

J'ai cru lire quelque part qu'alors . Néanmoins, je n'arrive pas à retrouver cette expression.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2
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[gatsu]

Bonjour à tous,

Lorsqu'une force dérive d'un potentiel U, on écrit .

Dans le cas où , on peut écrire , mais qu'en est-il lorsque ?

J'ai cru lire quelque part qu'alors . Néanmoins, je n'arrive pas à retrouver cette expression.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

salut,

Ca a l'air de venir des equations d'euler-lagrange non ?

[Jeanpaul]

Effectivement si on prend le lagrangien L = T(x') - U(x',x) (énergie cinétique - énergie potentielle) et qu'on applique la relation de Lagrange, on voit que la dérivée de T par rapport à x' c'est mx" donc la dérivée c'est m.a. La dérivée de U par rapport à x c'est la force habituelle mais il y a aussi la dérivée par rapport à t de dL/dx'. Pas évident à saisir si on n'est pas un peu au courant de Lagrange.

[Seirios]

Effectivement si on prend le lagrangien L = T(x') - U(x',x) (énergie cinétique - énergie potentielle) et qu'on applique la relation de Lagrange, on voit que la dérivée de T par rapport à x' c'est mx" donc la dérivée c'est m.a. La dérivée de U par rapport à x c'est la force habituelle mais il y a aussi la dérivée par rapport à t de dL/dx'. Pas évident à saisir si on n'est pas un peu au courant de Lagrange.

C'est justement ce que j'aimerais montrer. J'ai écrit un peu rapidement mon premier message, je vais développer davantage. Les équations d'Euler-Lagrange peuvent s'écrire : , avec T l'énergie cinétique et Q_j la j-ème composante de la force généralisée.

Dans le cas où la force dérive d'un potentiel ne dépendant pas de la vitesse, , et les équations d'Euler-Lagrange deviennent : , en introduisant le lagrangien .

J'aimerais cependant vérifier que cette forme des équations d'Euler-Lagrange est conservée lorsque les forces dérivent d'un potentiel dépendant lui-même de la vitesse.

J'ai alors lu quelque part que cela était effectivement le cas, ayant ; je vois que cela impliquerait bien la conservation de la forme des équations, mais je ne vois pas du tout pourquoi l'on aurait cette égalité pour la force généralisée.

J'ai essayé de calculer , mais j'obtiens , mais je n'arrive pas à identifier le premier terme à , ce qui m'amène à me demander si ce que je fais est vraiment correcte...

[A voir en vidéo sur Futura]

[philou21]

Si :

et les équations d'Euler-Lagrange :

alors :

donc :

par conséquent :


quelque chose comme ça...

[Seirios]

Mais ici tu pars des équations d'Euler-Lagrange pour retrouver l'expression de la force, tandis que je cherche à retrouver l'expression de la force pour pouvoir donner les équations d'Euler-Lagrange...

[philou21]

Mais ici tu pars des équations d'Euler-Lagrange pour retrouver l'expression de la force, tandis que je cherche à retrouver l'expression de la force pour pouvoir donner les équations d'Euler-Lagrange...

Les équations d'E-L proviennent de la minimisation de l'action...

[Seirios]

Les équations d'E-L proviennent de la minimisation de l'action...

Mais en utilisant la minimisation de l'action, j'ai toujours trouvé comme équations d'Euler-Lagrange : , alors qu'elles ne sont plus vraies lorsque les forces ne dérivent pas toutes d'un potentiel, comme dans le cas du frottement ; dans ce cas, on doit rajouter un troisième terme dans le premier membre des équations : , avec la fonction dissipation. La démonstration des équations d'Euler-Lagrange par l'intermédiaire du principe de d'Alembert permet de rendre compte de cette modification ; en est-il de même par la minimisation de l'action ?

[Thwarn]

Franchement tu poses des questions de mecanique analytique que pas grand monde utilise (a ma connaissance).
Tu devrais essayer de voir dans des bouquins spécialisés, car c'est quand meme assez pointu

[philou21]

Oui, je pensais aux forces de Lorentz, pas aux forces de frottements.

[Jeanpaul]

De mémoire, quand on a un champ magnétique, on remplace dans le lagrangien l'impulsion p par p-qA où A est le potientiel vecteur et du coup ça ressemble à ce que tu cherches, à condition de développer.

[Seirios]

De mémoire, quand on a un champ magnétique, on remplace dans le lagrangien l'impulsion p par p-qA où A est le potientiel vecteur et du coup ça ressemble à ce que tu cherches, à condition de développer.

Donc si je pose , avec le potentiel électromagnétique, et que je calcule , je devrais trouver l'expression de la force de la force de Lorentz ?