Dénombrements das un carré.

[invitea5ab8741]

Bonjour,

Soit un tableau carré à n lignes et n colonnes.
Soient n objets duplicables x1,x2,...,xn.

On considère que le tableau est "rempli" lorsque chaque case contient un et un seul objet xi (mais il peut y avoir des répétitions).

On me demande de dénombrer le nombre de façons de remplir ce carré avec les n objets de façon à ce que chaque objet apparaisse exactement n fois.

Dans les questions précédentes, j'ai démontré que :
- (1) il y a n^(n^2) façons e remplir ce carré avec les n objets.
- (2) il y a n^(n(n+1)/2) façons de replir ce carré avec ces n objets de sorte que le carré obtenu soit symétrique par rapport à l'une de ses diagonales.
- (3) il y a (n!)^n façons de remplir ce carré avec ces n objets de sorte que dans chaque ligne apparaissent exactement les n objets.
-(4) *On désigne par (Ln) le nombre de façons de remplir ce carré avec les n objets de sorte que dans chaque ligne et dans chaque colonne apparaissent exactement les n objets.
*Et (Ln') correspond à (Ln) tel que dans la première ligne et dans la première colonne apparaissent x1,x2,...,xn dans cet ordre.

J'ai démontré que : (Ln)=n!(n-1)!(Ln').

Voila tout ce que j'ai fait.

Pour répondre à la question, je pense qu'il faudrait "généraliser" (Ln') tel que : dans les n premières lignes et dans les n premières colonnes apparaissent x1,x2,...,xn. Mais je ne vois pas comment faire...

Pouvez-vous m'aider?

Merci d'avance !
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[invitea5ab8741]

J'ai encore un peu avancé ...
Jai calculé: L1=1.
L2=2.
L3=12.
L4=144.

Je ne trouve pas de conjecture pour exprimer Ln en fonction de n...

Pour répondre partiellement au problème de départ, le dénombrement recherché vaut Ln * (n!)^n.
Le n! correspond au nombre de possibilités de permutation des objets dans une ligne, et comme on a n lignes ...
Le Ln par sa définition, fait apparaître n fois chaque objet dans le tableau.

Mais comment exprimer Ln en fonction de n?

[invite986312212]

regarde du côté des coefficients multinomiaux.

[invitea5ab8741]

Je connais uniquement la formule du binôme ...
Mais j'ai cheché sur internet l'expression de ce coefficient sous forme de factorielles mais je ne vois toujours pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

tu as n^2 cases à remplir avec n^2 objets dont n sont du type 1, n du type 2,..., n du type n: le nombre de configurations est le coefficient multinomial (n^2)!/(n!)^n

[invitea5ab8741]

Donc d'après ton résultat, mon message précédent est faux après vérification...
D'ailleurs dans ce message je pense qu'il faut compter aussi le nombre de permutations possibles dans les n colonnes.
Donc on a : Ln * (n!)^2n.

Avec ton résultat, cela voudrait dire que : Ln = (n²)!/(n!)^3n.
Cela ne concorde pas avec les valeurs numériques de L1, L2, L3 et L4 que j'ai déterminées dans le premier post.