Dénombrements ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Pourriez-vous s'il vous plaît jeter un coup d'oeil à cet exercice ?

A)Soit 10 boules rouges indiscernables et 3 boules vertes indiscernables. De combien de manières

a)Ces 13 boules peuvent-elles être disposées en ligne ?
b)Ces 13 boules peuvent-elles être disposées en ligne, si seulement la couleur d'une boule de l'importance ?
c)Un choix de 3 boules rouges et 2 vertes peut-il être fait ?

Combien de ces 13 boules faut-il prendre au minimum pour en avoir certainement

d)3 rouges ?
e)2 vertes ?
f)deux de couleurs différentes ?

a) Il me semble évident que la réponse est

b) La par contre j'ai un doute. Moi je ferai ça comme ça :

Soit la boule dont la couleur importe est verte, soit rouge. Donc je choisit cette boule et je la fixe ensuite il me reste 12 boules et dansle premiers cas j'ai 2 répétition de la verte et 10 de la rouge, dans le second 3 de la verte 9 de la rouge donc ça me donne :



c) non ?

Et alors clairement :

f) 6 boules
d)12 boules
f) 11 boules

merci
-----

[yat]

Je pense qu'il y a une confusion entre la question a et la question b. Vu la précision ajoutée en b, je pense qu'en a on te demande le nombre de manières de mettre ces 13 boules en lignes, en considérant que deux boules de même couleur, même indiscernables, sont différentes.

Ce n'est que pour la question b qu'on ne tient plus compte que de la couleur des boules, et que la réponse revient à la formule que tu as donnée en a.

[Bleyblue]

Je pense qu'il y a une confusion entre la question a et la question b. Vu la précision ajoutée en b, je pense qu'en a on te demande le nombre de manières de mettre ces 13 boules en lignes, en considérant que deux boules de même couleur, même indiscernables, sont différentes.

Ce n'est que pour la question b qu'on ne tient plus compte que de la couleur des boules, et que la réponse revient à la formule que tu as donnée en a.

Tu crois ? Ca me semble bizarre tout de même parceque alors je ne vois pas pourquoi on aurait précisé 'indiscerbales' à deux reprises dans l'énoncé ...

merci

[yat]

Tu crois ? Ca me semble bizarre tout de même parceque alors je ne vois pas pourquoi on aurait précisé 'indiscerbales' à deux reprises dans l'énoncé ...

Oui, je sais. Ca peut préter à confusion, mais par contre dans le cas contraire je ne vois pas du tout pourquoi on aurait précisé "si seulement la couleur d'une boule de l'importance" dans la question b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Oui c'est ambigu ...
Mais si on accepte ton interprétation, quelle seait la réponse pour la a) ?
13! comme si toutes les boules étaient totalement différentes ?

merci

[yat]

Oui c'est ambigu ...
Mais si on accepte ton interprétation, quelle seait la réponse pour la a) ?
13! comme si toutes les boules étaient totalement différentes ?

merci

Oui, c'est comme ça que j'aurais répondu.

[Bleyblue]

Ok, je peux aller demander à l'assistant demain, verrai bien ce qu'il en pense lui ...

(Tu peux peut-être me dire si les autres réponses te semblent justes ?)

merci !

[yat]

Ben pour le reste je suis complêtement d'accord, c'est pour ça que j'en parle pas.

Petite précision en passant : vu la manière dont tu as répondu à la question c, tu considères que deux boules de même couleur sont quand même deux boules différentes, non ? Sinon la réponse serait "ben... une seule".

Donc en prenant le même a priori pour les questions a et b...

[Bleyblue]

Oui sinon en effet la réponse serait une seule.

J'ai encore un exercice ici :

B) 17 jobs doivent être assignés à 5 processeurs. De combien demanière est-ce possible :

a) en général ?
b) si chaque processeur traite au plus 3 jobs
c) si chaque processeur traite au moins 1 job

a)
Il s'agit d'un arrangement avec répétition (vu qu'a chaque processeur peut être assign 0 job, 1, 2, 3 ... 15 jobs) donc j'ai

jobs

b) Impossible étant donné qu'au aura au maxium 15 jobs d'affecter

c) On affecte 1 job à chaque processeur et ensuite il s'agit à nouveau d'une combinaison avec répétition (il ne reste plus que 12 jobs)



merci

[yat]

Je ne comprends pas du tout ta réponse a... déjà une valeur en haut plus grande que celle qui est en bas, je ne sais pas ce que ça peut donner.

Moi je raisonnerais comme ça :
Tous les jobs sont différents. Chacun des 17 jobs peut être assigné à un des 5 processeurs. Oublie donc les combinaisons, c'est beaucoup plus simple que ça.
Ensuite, si on considère que les jobs sont tous les mêmes (pour moi, là encore l'énoncé n'est pas clair là-dessus), pour chaque répartition possible (en termes de nombre de job par processeur), il y a un certain nombre de manières de mélanger ces jobs entre eux. Quand on multiplie ce nombre par le nombre de répartitions, on obtient donc la valeur trouvée au dessus.

Pour le b ça me semble tomber sous le sens, et pour le c c'est une bonne manière de reprendre le raisonnement du a.

[Bleyblue]

Je ne comprends pas du tout ta réponse a... déjà une valeur en haut plus grande que celle qui est en bas, je ne sais pas ce que ça peut donner.

Je me suis trompé en fait, il fallait bien mettre la valeur la plus grande en dessous ...

Sinon eh bien il s'agit en fait de la formule pour les combinaisons avec répétitions de k objets parmi n :



(Saurais tu par hasard comment faire pour noter cela "à l'américaine ?" c'est à dire avec des parenthèse au lieu d'un C)

non ?

merci

[invitef591ed4b]

La commande "n \choose k" donne :

La commande "{n/4} \choose {k^2+k-4}" donne :

[Bleyblue]

merci

[yat]

Je me suis trompé en fait, il fallait bien mettre la valeur la plus grande en dessous ...

Sinon eh bien il s'agit en fait de la formule pour les combinaisons avec répétitions de k objets parmi n :

Le problème, c'est qu'on ne peut, par exemple, pas attribuer 15 jobs à tous les processeurs... je ne pense pas que l'on puisse considérer ça comme une combinaison avec répétition.

[Bleyblue]

Ah oui juste

Je ne maitrise décidément pas encore suffisamenr bien ces combinaisons avec réptition, je vais aller revoir ça ...

merci

[invitef591ed4b]

Il y a moyen de classer la plupart des dénombrements dans 4 modèles d'urnes.

On considère k boules à répartir dans n urnes. On a deux types de contraintes :
- contrainte sur les boules : sont elles discernables (numérotées) ou pas ?
- contrainte sur les urnes : ne doivent-elles contenir qu'1 boule maximum ou pas ?
Le nombre de manière de répartir ces boules sous ces contraintes est alors résumé dans le tableau :

Dans l'exercice B, il faut répartir 17 jobs sur 5 processeurs. En reprenant le modèle d'urnes, on assimile un job à une boule, et un processeur à une urne. Les jobs sont indiscernables, et les processeurs n'ont pas un nombre limite de jobs à traiter. On se trouve donc dans la case en bas à droite du tableau, et le nombre de manière de répartir k=17 jobs sur n=5 processeurs est inscrit dans la case.

[Bleyblue]

Ouhhhhh c'est bien utile ton liens la, je commençais sérieusement à m'embrouiller avec toutes ces variantes

merci

[Bleyblue]

Hum, donc ma réponse ci dessus était bien juste, mais j'hésitais ...

Je vais méditer tout ça dans ma chambre, merci

[invitef591ed4b]

Oui, c'est 100x plus simple que retenir ce que sont les arrangements, permutations, combinaisons et le tout avec ou sans répétition

[Bleyblue]

oui

Sinon eh bien c'aurait aussi pu être 5¹⁷ si les jobs étaient discernables (mais ce n'est pas le cas ici apparament)

pour le b) c'est clair et pour le

c)On fixe trois jobs (et comme ils sont indiscernable il n'y a qu'une possibilité) et alors ça donne = possiblités pour les autres

[invitef591ed4b]

c)On fixe trois jobs

Cinq jobs, tu veux dire

[Bleyblue]

Oui mince, 5 processeurs donc 5 jobs, c'est le genre d'erreur de distraction que je commets non stop

[Bleyblue]

Tiens voila un problème amusant :

. =

que faut il mettre à la place du "?" ?
Bon alors empiriquement moi j'ai réussi à trouver que la réponse était (k - i) mais je n'arrive pas à démontrer ça.

Auriez vous une piste ? Parce que les produits de coefficients binomiaux moi je ne vois pas trop comment je pourrais les transformer ...

merci

[Bleyblue]

Ah non ça va j'ai rien dit, il suffit de passer à l'écriture sous forme de factorielle et ça va tout seule

[Bleyblue]

Voici un autre problème :

On me demande combien de mots de 5 lettres peut-on former en alternant des voyelles et des consonnes
a) Si les lettres doivent être différentes ?
b) Sans cette restriction

Notre alphabet comporte 6 voyelles et 20 consonnes.
que ce soit dans le cas a) ou dans le cas b) on doit avoir quelque chose comme ça :

C-V-C-V-C ou V-C-V-C-V.

a) On fixe les voyelles dans le premier cas, les consonnes dans le second et j'ai donc :

manières

(A désignant le nombre d'arrangements)

b) Même chose mais avec répétitions :

manières

Ca vous sembles correctes ?

merci

[Bleyblue]

Oh eh tiens tant qu'on y est en voici encore un pour lequel je doute (Dites ça ne vous dérange pas que je demande de corrigé mes réponses comme ça ?)

Des ordinateurs de quatre marques sont disponibles en quantités illimitées.
a) De combien de manières est-il possible d'acquérir un lot de 6 ordinateurs choisis dans ces marques ?
b) De combien de manières est-il possible d'équiper six postes de travail numérotés de 1 à 6 chacun à l'aide d'un ordinateur choisi dans ces marques ?

Pour moi cela fait 4⁶ dans les deux cas non ?

merci

[invitef591ed4b]

Voici un autre problème :

On me demande combien de mots de 5 lettres peut-on former en alternant des voyelles et des consonnes
a) Si les lettres doivent être différentes ?
b) Sans cette restriction

a) Cas CVCVC. On choisit, sans répétition, 3 consonnes parmi 20 : on a 20*19*18 manières de le faire. Cette expression est équivalente à prendre une combinaison de 3 éléments parmi 20, que l'on multiplie par 3! :

Multiplier par 3! qui est le nombre de permutations signifie que l'ordre des éléments est pris en compte (car une combinaison ne tient pas compte de l'ordre).

Pour chaque tel choix de 3 consonnes, il y a encore le choix de 2 voyelles parmi 6, sans répétition et avec ordre :

Le nombre de manières de faire un mot de type CVCVC est donc :

Cas VCVCV. Même principe que ci-dessus pour obtenir :

La réponse finale du a) est donc la somme des solutions correspondant aux deux différents cas.

b) Cas CVCVC. Choix de 3 consonnes parmi 20 avec répétitions : 20³. Pour chaque tel choix, on a 6² choix possibles de 2 voyelles parmi 6 avec répétitions. Le nombre de choix possibles pour ce cas-ci est donc 20³6².

Cas VCVCV. Même principe pour avoir 20²6³.

La réponse finale du b) est la somme des deux cas.

[Bleyblue]

Oui, en fait j'avais oublié un partie des solutions vu que je me contentais de fixer les voyelles (ou les consonnes) et de calculer le nombre de cas possible pour celles-ci ...

Je suis grave quand même

merci

[Bleyblue]

Voici un autre énoncé (j'espère que cette fois ci je suis dans le bon parceque sinon )

- Dans l'alphabet usuel de 26 lettres majuscules, un mot de 11 lettres (n'ayant pas nécessairement une signification) est dit sympathique s'il contient au moins une lettre du mot SYMPATHIQUE. Ainsi, par exemple, SYMPATHIQUE est un mot sympathique, mais pas NULBONULBON.

Déterminez le nombre de mots symathiques.

Voilà mon raisonnement :

Un mot est sympathique s'il contient une lettre du mot en question, OU deux lettres, OU trois, OU ... OU 11 lettres (c'est à dire toutes les lettres)

a) Nombre de mots sympathique de une lettre :

On choisit une lettre parmis les 11 et on la fixe. Les dix autres lettres seront donc choisies parmis les 15 autres lettres.

Et donc on a :

possibilités

b) Nombre de mots sympathique de deux lettres :

On a bien : possiblités

Donc si on généralise eh bien on a :

mots symathiques possibles

Dites moi, ça vous semble juste ça ?

merci

[yat]

Tu devrais essayer de faire le raisonnement inverse : nombre de mots de onze lettres, et nombre de mots de onze lettres antipathiques (enfin, je veux dire pas sympathiques ). Ca devrait être beaucoup plus simple.

Maintenant pour ton raisonnement, je pense que tu négliges l'ordre des lettres : Si je choisis une lettre du mot "sympathique" et 10 parmi les 15 lettres restantes, je me retrouve avec un sac de lettres en vrac qui n'est pas encore un mot.