[exo] Vérification d'exercice sur complexe

[invite406373bf]

Bonjour à tous,

Voici l'énnoncé : Si Z= a + b*i résoudre Z³=Z(barre). en déduire le lieu géométrique des pts images solutions de cette équation.

Voici la réponse que j'ai obtenue :

(a+b*i)³=a-b*i
=> a³+3a²bi+3ab²i²+b³i³ = a-bi
=> a³+3a²bi-3ab²-b³i = a-bi
=> a³-3ab²+i*(a²b-b³) = a-bi
Puis je mets cela sous forme de système :
a= a³-3ab² => a supérieur ou égal à 0
-b= a²b-b³ => b inférieur ou égal à 0

Puis je mets en évidence :

a = a*(a²-3b²)
-b = -b*(-a²+b²)

1 = a²-3b²
1 = -a²+b²

a²-3b²=-a²+b²
2a²=4b²
a²=2b²
a = +- ((racine de 2) * b) à rejetter - ((racine de 2) *b)

Z³= + (racine de 2)*b-bi
Z= racine cubique (b *(racine de 2 - i)) ou b inferieur ou égal à zero

Lieu géométrique?

Est-ce bon ? Sauriez-vous m'éclairer sur le lieu géométrique ?

Merci d'avance à tous !
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[inviteb85b19ce]

Salut,

=> a³+3a²bi-3ab²-b³i = a-bi
=> a³-3ab²+i*(a²b-b³) = a-bi

Oups! Un 3 est passé à la trappe entre ces deux lignes...

À moins que l'énoncé n'exige vraiment d'utiliser la forme a+ib, la résolution est beaucoup plus rapide en passant par la notation exponentielle.

[invite406373bf]

Je te remercie j'avais completement oublier ce 3 !

[invite406373bf]

Malgré cette erreur mon dévellopement est-il bon ?
Au final j'obtiens donc aprés correction a = +- b où - b est à rejetter

avec Z³ = b-bi => Z = racine cubique de b*(1-i)
Et le lieu géométrique sera une courbe je suppose ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb85b19ce]

Re-

Avec ta méthode, j'obtiens le système suivant :

a(a² - 3b² - 1) = 0
b(3a² - b² + 1) = 0

donc

a=0 et [ b=0 ou 3a²-b²+1=0 ]
ou
a²-3b²-1=0 et [ b=0 ou 3a²-b²+1=0 ]

Je te laisse conclure sur l'ensemble des solutions...

[pallas]

Il est plus simple de partir de la relation de départ et d'interpréter avec les modules et les arguments : soit
(Module de z)(( module de z)² - 1) = 0 et 3 arg z = -argz
soit module de z = 0 donc z=0 ou module de z = 1 avec 4 argz congru à 0 modulo 2 pi soit arg z = 0 ou pi/2 ou pi ou - pi/2 donc z = 1 ou i ou -1 ou -i plus 0 donc cinq solutions
que tu retrouves bien avec ta méthode
A +

[invite406373bf]

Je vous remercie tous !