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[exo] Vérification d'exercice sur complexe



  1. #1
    Julo486

    Red face [exo] Vérification d'exercice sur complexe

    Bonjour à tous,

    Voici l'énnoncé : Si Z= a + b*i résoudre Z³=Z(barre). en déduire le lieu géométrique des pts images solutions de cette équation.

    Voici la réponse que j'ai obtenue :

    (a+b*i)³=a-b*i
    => a³+3a²bi+3ab²i²+b³i³ = a-bi
    => a³+3a²bi-3ab²-b³i = a-bi
    => a³-3ab²+i*(a²b-b³) = a-bi
    Puis je mets cela sous forme de système :
    a= a³-3ab² => a supérieur ou égal à 0
    -b= a²b-b³ => b inférieur ou égal à 0

    Puis je mets en évidence :

    a = a*(a²-3b²)
    -b = -b*(-a²+b²)

    1 = a²-3b²
    1 = -a²+b²

    a²-3b²=-a²+b²
    2a²=4b²
    a²=2b²
    a = +- ((racine de 2) * b) à rejetter - ((racine de 2) *b)

    Z³= + (racine de 2)*b-bi
    Z= racine cubique (b *(racine de 2 - i)) ou b inferieur ou égal à zero

    Lieu géométrique?

    Est-ce bon ? Sauriez-vous m'éclairer sur le lieu géométrique ?

    Merci d'avance à tous !

    -----

    Dernière modification par Julo486 ; 05/11/2005 à 16h28.

  2. Publicité
  3. #2
    Odie

    Re : [exo] Vérification d'exercice sur complexe

    Salut,
    Citation Envoyé par Julo486
    => a³+3a²bi-3ab²-b³i = a-bi
    => a³-3ab²+i*(a²b-b³) = a-bi
    Oups! Un 3 est passé à la trappe entre ces deux lignes...

    À moins que l'énoncé n'exige vraiment d'utiliser la forme a+ib, la résolution est beaucoup plus rapide en passant par la notation exponentielle.

  4. #3
    Julo486

    Re : [exo] Vérification d'exercice sur complexe

    Je te remercie j'avais completement oublier ce 3 !

  5. #4
    Julo486

    Re : [exo] Vérification d'exercice sur complexe

    Malgré cette erreur mon dévellopement est-il bon ?
    Au final j'obtiens donc aprés correction a = +- b où - b est à rejetter

    avec Z³ = b-bi => Z = racine cubique de b*(1-i)
    Et le lieu géométrique sera une courbe je suppose ?

    Merci
    Dernière modification par Julo486 ; 05/11/2005 à 17h46.

  6. #5
    Odie

    Re : [exo] Vérification d'exercice sur complexe

    Re-

    Avec ta méthode, j'obtiens le système suivant :

    a(a² - 3b² - 1) = 0
    b(3a² - b² + 1) = 0

    donc

    a=0 et [ b=0 ou 3a²-b²+1=0 ]
    ou
    a²-3b²-1=0 et [ b=0 ou 3a²-b²+1=0 ]

    Je te laisse conclure sur l'ensemble des solutions...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pallas

    Re : [exo] Vérification d'exercice sur complexe

    Il est plus simple de partir de la relation de départ et d'interpréter avec les modules et les arguments : soit
    (Module de z)(( module de z)² - 1) = 0 et 3 arg z = -argz
    soit module de z = 0 donc z=0 ou module de z = 1 avec 4 argz congru à 0 modulo 2 pi soit arg z = 0 ou pi/2 ou pi ou - pi/2 donc z = 1 ou i ou -1 ou -i plus 0 donc cinq solutions
    que tu retrouves bien avec ta méthode
    A +

  9. Publicité
  10. #7
    Julo486

    Re : [exo] Vérification d'exercice sur complexe

    Je vous remercie tous !

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